CÁLCULO DE DERIVADAS EN ALGUNOS GRUPOS TOPOLÓGICOS
CALCULUS OF DERIVATIVES IN SOME TOPOLOGICAL GROUPS
HÉCTOR ANDRÉS
GRANADA
Matemático, Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales, hagranadad@unal.edu.co
SIMEÓN CASANOVA
TRUJILLO
Matemáticas, M.Sc, Profesor, Universidad Nacional de
Colombia, Sede Manizales, scasanovat@unal.edu.co
Recibido para revisar septiembre 10 de 2007, aceptado Marzo 28 de 2008, versión final Julio 30 de 2008
RESUMEN: En este artículo se muestra a traves de ejemplos, la forma como se calculan derivadas en grupos topológicos. En cada uno de ellos se deben resolver ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales.
PALABRAS CLAVE: Grupo topológico, homomorfismo, diferenciación en grupos topológicos.ABSTRACT: This article shows how to calculate derivatives in topological groups trough examples. In each of them one should solve ordinary or partial differential equations.
KEYWORDS: Topological group, homomorphism, differentiability in topological groups.
1. INTRODUCCIÓN
La
derivada de Carathéodory para funciones (
denota el conjunto de los números reales) le permitió a
Acosta y Delgado generalizar esta a
funciones
y mostrar su
equivalencia con la derivada de Fréchet [1]. Con base en este último trabajo, Acosta generalizó la derivada de
Carathéodory a grupos topológicos [2]. Tenemos así una forma de hacer cálculo diferencial
en grupos topológicos. Sin embargo, en [2] no se muestra explícitamente un
ejemplo en el que se calculen derivadas en grupos topológicos. En [3] se
calculan
derivadas para una
función , donde
es un grupo que describiremos más adelante. En este artículo se
retomará el trabajo hecho en [3] y se calcularán derivadas para
funciones
y
.
También se hará el
cálculo de derivadas para un tipo particular de funciones siendo
el grupo aditivo de
las matrices de tamaño
.
En general, el cálculo de derivadas en grupos topológicos conduce a la solución de ecuaciones diferenciales.
2. PRELIMINARES
En esta sección se presenta la definición de derivada en grupos topológicos dada en [2]. Para llegar a ella, se hace necesario los siguientes comentarios:
1. El espacio corresponde al conjunto de todos los homomorfismos continuos
de
en
dotado de la topología compacto-abierta. Esta topología se
describe como sigue:
Sean y
grupos topológicos Hausdorff. Si
es un subconjunto compactode
y
es un subconjunto abierto de
, se denota por
el conjuntode todas
las funciones continuas
tales que
.
La
topología compacto-abierta es la que tiene como sub-base la colección donde
es localmente compacto.
2. Un grupo es divisible si para todo
y
(
denota el conjunto
de los números naturales), la ecuación
(en notación
multiplicativa) tiene solución.
Definición 2.1. Sean y
grupos topológicos Hausdorff. Una aplicación
es diferenciable en
, si existe
continua en
y tal que
Si esta igualdad se
da y es única, la derivada de
en
es
, y escribimos
.
En la definición
anterior, la igualdad debe ser válida en alguna vecindad del punto .
La operación del lado derecho es una evaluación y la notación es tomada de [2], pues es allí donde se da por primera vez una definición de derivada en grupos topológicos.
En [3] se dan condiciones suficientes para la unicidad de la derivada:
Sean y
grupos topológicos Hausdorff,
localmente compacto y
divisible. Supóngase además que para todo
,
. Si
es diferenciable en
, entonces
es única.
Se ve de la
definición de derivada, que es un homomorfismo.
Por lo tanto, para hacer cálculo diferencial en grupos topológicos, se debe
empezar por calcular homomorfismos.
3. CÁLCULO DE HOMOMORFISMOS
En esta sección se hará el cálculo de ciertos homomorfismos, para usarlos en la próxima sección con el fin de calcular derivadas.
3.1 Consideremos el conjunto
dotado de la ley de composición interna
La dupla es un grupo (no
abeliano), donde el módulo es la pareja ordenada
y el
inverso de es
. Si se considera en
la topología
inducida por la usual U de
, se tiene que la tripla
U
es un grupo topológico.
3.1.1 Homomorfismos de G en
Sea un homomorfismo.
Entonces,
Se tiene además la condición inicial
.
Como
entonces
de obtenemos que
Haciendo ,
y usando la
condición inicial en
, se llega a:
Tomando el límite cuando se
tiene:
de donde
Derivando en esta última igualdad respecto a la variable se obtiene:
Ahora, en (2) se hace y obtenemos
Tomando el límite cuando obtenemos:
De y
se llega a:
Para que esta última igualdad sea válida debe ser que , de donde
Así, y en particular
. De
se tiene que
Luego, , o sea que
. Remplazando en
se llega a que los
homomorfismos
quedan caracterizados
como:
3.1.2 Homomorfismos de en G.
Sea un homomorfismo. En
primer lugar,
.
Ahora, como es homomorfismo entonces
Por un lado se tiene que
y por otro lado
Remplazando las dos últimas relaciones en (6), se obtienen las siguientes relaciones funcionales:
Como se tienen además las condiciones
iniciales
.
De (7) y las condiciones iniciales obtenemos
Tomando el límite
cuando se llega a que
, de donde
. De esta igualdad se sigue que
y usando las condiciones iniciales se tiene que
, así que
Ahora, de y
junto con las condiciones iniciales, se tiene que:
Tomando el límite
cuando se obtiene
, de donde
. De esta igualdad se sigue que
y usando las
condiciones iniciales se llega a que
. Por lo tanto,
De (9) y (10) concluimos que los
homomorfismos quedan caracterizados
como:
3.1.3 Homomorfismos de G en G. Sea
Un homomorfismo. En
primer lugar,
Como es homomorfismo, entonces
Por un lado
y por otro lado
Remplazando y
en
se obtienen las
siguientes relaciones funcionales:
También, como es homomorfismo se sigue que
, de donde se tienen las condiciones iniciales
.
En (14) se hace y se obtiene
Usando las condiciones iniciales, se llega a:
Tomando el límite
cuando en esta última
igualdad obtenemos la ecuación diferencial parcial
de donde
En esta igualdad
derivamos respecto a y se tiene:
Usando nuevamente la
relación , hacemos
y se obtiene:
Tomando el límite
cuando en esta última
igualdad se llega a:
de donde
De y
se tiene que
y para que esta
igualdad tenga sentido, debe ser que
y de ahí que
. Ahora, de
se tiene que
de donde .
Luego,
,
es decir,
. De esta forma, de
se sigue que
Para encontrar la
función , en
se hace
y razonando como antes
se obtiene
En conclusión, de y
se tiene que los
homomorfismos
quedan
caracterizados como:
Se observa en los ejemplos que los homomorfismos encontrados dependen únicamente de la primera variable.
También en este
ejemplo, se tiene que los homomorfismos de en
se obtienen realizando
la composición de los homomorfismos de
en
con los de
en
.
4. CÁLCULO DE DERIVADAS
4.1 Una vez hecho el cálculo de los homomorfismos ,
y
pasamos a calcular derivadas. El grupo
es localmente compacto
y satisface las condiciones para que haya unicidad de la derivada (comentario 3
de los preliminares).
4.1.1 Derivada para funciones
Veamos en primer
lugar qué funciones son
diferenciables. Por la caracterización de los homomorfismos
se tiene:
Haciendo en esta igualdad se
obtiene:
Como debe ser continua en
se tiene entonces que
Se exige entonces
que exista la derivada parcial de con respecto a
, evaluada en
.
De esta manera, la
derivada de en
, evaluada en
es :
4.1.2 Derivada para funciones
En primer lugar se
debe ver qué funciones son
diferenciables, es decir, para qué funciones
existe
continua en
y tal que
Tenemos que , siendo
y
funciones de
en
con
. Por un lado se tiene que
Por otra parte,
teniendo en cuenta la caracterización de los homomorfismos de en
, tenemos:
De (22) y (23) se obtienen las siguientes relaciones:
Al despejar en
se llega a:
Como debe ser continua
, entonces
Se debe exigir
entonces que sea diferenciable en
.
Ahora, de la
ecuación se tiene:
o bien,
es decir,
Como debe ser continua en
, entonces si en la anterior igualdad se toma el límite
cuando
se tiene que:
Se debe exigir
entonces que sea diferenciable en
.
De (26) y (27) se tiene que la
derivada de en
, evaluada en
es:
4.1.3 Derivada para funciones
Como antes, veamos
qué funciones son diferenciables.
Tenemos que
y por lo tanto,
De otro lado,
teniendo en cuenta la caracterización de los homomorfismos de en
, se tiene que
Igualando y
se obtienen las
siguientes ecuaciones:
De se llega a:
Haciendo y teniendo en cuenta
que
debe ser continua en
, entonces al tomar
en la última igualdad, se obtiene que
Ahora, de se sigue que:
o bien,
Como debe ser continua en
, entonces haciendo
y tomando
en la última igualdad,
se tiene que:
De esta manera, la
derivada de en
, evaluada en
es
Donde y
4.2 En esta sección se considerará
el grupo topológico aditivo de las matrices
cuadradas de tamaño
con entradas reales, el cual es localmente
compacto, divisible y satisface las condiciones para la unicidad de derivada. En efecto, la divisibilidad se sigue del
siguiente hecho: como estamos considerando
como grupo aditivo la
divisibilidad significa que dado
y
natural, existe
tal que
, lo cual en nuestro caso se tiene. Vale además que
para todo
. La compacidad local de
se sigue al ver
como
.
Definimos como:
Se mostrará que esta
función es diferenciable en cada . En [4] se demuestra que los homomorfismos de
en
quedan caracterizados
como:
Donde
Debido a la
linealidad de las , se tiene que el homomorfismo
es continuo con la
topología inducida por la de
.
Definamos como:
Con relación a esta
definición, tenemos que efectivamente y que considerando en
la topología compacto abierta, la aplicación
es continua en
. Además,
Donde
Se tiene así que
Por lo tanto, es diferenciable en
y
Donde
5. AGRADECIMIENTOS
Los autores expresan sus agradecimientos a los jurados del artículo por sus acertados comentarios, los cuales permitieron mejorar su presentación.
REFERENCIAS
[1] ACOSTA G. ERNESTO, DELGADO CÉSAR. Fréchet vs. Carathédory. American Mathematical Monthly, April 1994.
[2] ACOSTA G. ERNESTO. Differentiability in Topological Groups. Soochow Journal of Mathematics, Volume 22, No.1, pp 39-48. January 1996.
[3] CASANOVA T. SIMEÓN. Teorema del Valor Medio en Grupos Topológicos. Tesis de Maestría en Matemáticas. U.Nal. de Colombia, 1997.
[4] GRANADA D. HÉCTOR. Diferenciación en grupos metrizables. Tesis de grado en Matemáticas. U.Nal. de Colombia, Sede Manizales. Marzo de 2005.