A counterexample in the theory of linear singularly perturbed systems

Abstract

In this note we compare the bounded solutions of the linear singularly perturbed system ε X' = A (t) x + f (t), with the solutions of the algebraic system A (t) x + f (t) = 0. Here A and f are bounded C1 functions with bounded derivatives. We assume that the eigenvalues of A (t) satisfy | R e λ (t )| ≥ y and gt; 0. It is known that for small ε, the following estimate is valid hasta ||kε (f) + A-1 f || ≤ εL || f ||1, where kε(f) denotes the bounded solution of ε X' = A(t)x +f (t), || f || = sup R| f(t)|, || f ||1 : = || f || +|| f´ || and L is a constant. We prove that this estimate cannot be replaced by ||kε (f) + A-1 f || ≤ εL || f ||. Futhermore, if, instead of the condition that A be C1, we require that the function be bounded and Lipschitz continuous, we show that the same estimate, ||kε (f) + A-1 || ≤ εL || f ||1, can be obtained.

En esta nota se comparan las soluciones acotadas del sistema lineal singularmente perturbado ε X' = A (t) x + f (t), con las soluciones del sistema algebráico A (t) x + f (t) = 0. Aquí A y f son funciones acotadas de clase C1, con derivadas acotadas. Suponemos además que los valores propios de A (t) satisfacen la condición | R e λ (t)| ≥ y and gt; 0. Es sabido que para ϵ C1 y ε suficientemente pequeños vale la siguiente estimación: ||kε (f) + A-1 || ≤ εL || f ||1, donde kε (f) denota la única solución acotada de ε X' = A(t)x +f (t), || f || = sup R| f(t)|, || f ||1 : = || f || +|| f´ || y L es una constante que no depende de f ni de ε. Probaremos que esta estimación no puede ser extendida hasta ||kε (f) + A-1 f || ≤ εL || f ||. Además, si en lugar de exigir que A sea de clase C1 pedimos que A sea una función de Lipschitz acotada, entonces sigue siendo válida la estimación ||kε (f) + A-1 || ≤ εL || f ||1.