Sobre aplicaciones conformes hiperbólicamente convexas

Abstract

Se dice que una transformaci6n conforme f del disco unidad D del plano complejo en sí mismo es hiperbólicamente convexa si el segmento de recta hiperbólica que une cualquier par de puntos de f (D) está a su vez contenido en f (D). En este trabajo estudiaremos algunas cantidades relacionadas con estas funciones que no permanecen invariantes bajo los automorfismos conformes de D, a saber, la derivada, el modulo de continuidad y los coeficientes de la expansión en serie de Taylor alrededor del origen. Estudiaremos además los dominios con cúspides, los cuales son, probablemente, extrémales para varios problemas.

A conformal mapping f of the unit disc IJi into itself is called hyperbolically convex if the non-euclidean segment between any two points of f (D) also belongs to f (D). In this paper we study several quantities which are related to this class of functions and that do not remain invariant under the group of conformal automorphism of D, namely, the derivative, the modulus of continuity and the coefficients of the Taylor expansion about the origin. In addition, we study domains with cusps which are probably extremal for several problems.