Field of moduli and generalized fermat curves

Abstract

A generalized Fermat curve of type (p,n) is a closed Riemann surface S admitting a group H \cong Zpn of conformal automorphisms with S/H being the Riemann sphere with exactly n+1cone points, each one of order p. If (p-1)(n-1) ≥ 3, then S is known to be non-hyperelliptic and generically not quasiplatonic. Let us denote by AutH(S) the normalizer of H in Aut(S). If p is a prime, and either (i) n=4 or (ii) n is even and AutH(S)/H is not a non-trivial cyclic group or (iii) nis odd and AutH(S)/H is not a cyclic group, then we prove that S can be defined over its field of moduli. Moreover, if n ε {3,4}, then we also compute the field of moduli of S.

Una curva de Fermat generalizada de tipo (p,n) es una superficie de Riemann cerrada S la cual admite un grupo H \cong Zpn de automorfismos conformales de manera que S/H sea de género cero y tenga exactamente n+1 puntos cónicos, cada uno de orden p. Si (p-1)(n-1) ≥ 3, entonces se sabe que S no es hiperelíptica y genéricamente no es casiplatónica. Denotemos porAutH(S) el normalizador de H en Aut(S). Si p es primo y tenemos que (i) n=4 o bien (ii) n es par y AutH(S)/H no es un grupo cíclico no trivial o bien (iii) n es impar y AutH(S)/H no es un grupo cíclico, entonces verificamos que S se puede definir sobre su cuerpo de moduli. Más aún, si n ε{3,4}, entonces determinamos tal cuerpo de moduli.