On the classification of 3--bridge links

Abstract

Using a new way to represent links, that we call a butterfly representation, we assign to each 3-bridge link diagram a sequence of six integers, collected as a triple (p/n,q/m,s/l), such that p≥ q≥ s≥2, 0 and lt;n≤ p, 0 and lt;m≤ q and 0 and lt;l≤ s. For each 3-bridge link there exists an infinite number of 3-bridge diagrams, so we define an order in the set (p/n,q/m,s/l) and assign to each 3-bridge link L the minimum among all the triples that correspond to a 3-butterfly of L, and call it the butterfly presentation of L. This presentation extends, in a natural way, the well known Schubert classification of 2-bridge links. We obtain necessary and sufficient conditions for a triple (p/n,q/m,s/l) to correspond to a 3-butterfly and so, to a 3-bridge link diagram. Given a triple (p/n,q/m,s/l) we give an algorithm to draw a canonical 3-bridge diagram of the associated link. We present formulas for a 3-butterfly of the mirror image of a link, for the connected sum of two rational knots and for some important families of 3-bridge links. We present the open question: When do the triples(p/n,q/m,s/l) and (p'/n',q'/m',s'/l') represent the same 3-bridge link?

Usando una nueva forma de representar enlaces, que se denomina representación en mariposa, se asocia a cada diagrama de 3 puentes de un enlace una sucesión de seis enteros, organizados como una tripla (p/n,q/m,s/l), tal que p≥ q≥ s≥2, 0 and lt;n≤ p, 0 and lt;m≤ q y 0 and lt;l≤ s. Para cada enlace de 3 puentes existe un número infinito de diagramas de 3 puentes, por lo que se define un orden en el conjunto de triplas de la forma (p/n,q/m,s/l) y se asigna a cada enlace de 3 puentes L el mínimo entre todas las triplas que corresponden a una 3-mariposa de L, y que se llama lapresentación en mariposa de L. Esta presentación extiende, en una forma natural, la bien conocida clasificación de Schubert de los enlaces de 2 puentes. Se obtienen condiciones necesarias y suficientes para que una tripla de la forma (p/n,q/m,s/l)corresponda a una 3-mariposa y por tanto, a un diagrama de 3 puentes de un enlace. Dada una tripla (p/n,q/m,s/l) se da un algoritmo para dibujar, en forma canónica, un diagrama de 3 puentes del enlace de 3 puentes asociado. Se presentan fórmulas para la 3-mariposa de la imagen espejos de un enlace de 3 puentes, para la suma conexa de dos nudos racionales y de algunas familias importantes de enlaces de 3 puentes. Queda la pregunta abierta: ¿Cuándo dos triplas (p/n,q/m,s/l) y (p'/n',q'/m',s'/l') representan el mismo enlace de 3 puentes?