Acciones propias en grupos topológicos y aplicaciones a espacios cocientes

Abstract

Sean X un grupo topológico y G un subgrupo localmente compacto de X. Mostraremos que la acción natural de G sobre X dada por (g, x) → xg^(−1) es propia en el sentido de Palais, y que dadas las condiciones impuestas esta acción es también propia, Palais - Cartan propia, de Cartan y Bourbaki - propia; resultados que permitirán probar la existencia de un conjunto cerrado F ⊂ G, G - fundamental tal que la restricción de la aplicación cociente π|F : F → X/G es perfecta (i.e. cerrada con fibras compactas) hecho que posibilitará la transferencia de algunas propiedades topológicas estables bajo aplicaciones perfectas y heredadas por conjuntos cerrados en X al espacio cociente X/G. Finalmente, demostraremos que si X es además paracompacto se establece la relación dim(X) ≤ dim(X/G) + dim(G) entre las dimensiones de los G - espacios X, X/G y G.

Abstract. Let X be a topological group and G a locally compact subgroup of X. We show that the natural action of G on X given by (g, x) → xg^(−1) is proper in the sense of Palais, and given the conditions this action is itself Palais- Cartan, Cartan and Bourbaki proper; results that will prove the existence of a closed set F ⊂ G, G - fundamental such that the restriction of the quotient map π|F : F → X/G is perfect (i.e. closed with compact fibers) this will enable the transfer of some stable topological properties under perfect application and inherited by closed sets in X to the quotient space X/G. Finally, we show that if X is also paracompact the inequality dim(X) ≤ dim(X/G) + dim(G) relates the dimensions of the G- spaces X, X/G and G.