El problema de Caychy asociado a una ecuación del tipo Benjamin Ono

Abstract

En este trabajo se estudia el problema de valor inicial asociado a la ecuación del tipo Benjamin - Ono, presentado resultados de buen planteamiento local y global en el espacio de Sobolev Hs (R) para s ≥ 1/2 de la ecuación {∂tu + H u - H ∂ 2 xu – 3/2 u∂xu = µ ∂ 2/xu u(0) = ϕ (0-1) donde t, x ∈ R, µ 0 y H corresponde a la transformada de Hilbert. Dicha ecuación es una regularización de tipo parabólico de la ecuación { ∂tu + H u − H ∂ 2/xu − 3/2 u∂xu = 0 u(0) = ϕ, (0-2) La cual es una ecuación del tipo Benjamin-Ono y fue obtenida Akers y Milewski en [10] en el caso bidimensional. Además, se extiende el buen planteamiento a espacios de Sobolev con índices negativos, que se limitan a s ∈ (−1, 1), y resultados en espacios de Sobolev con pesos enteros, son obtenidos.

Abstract: In this work, we study the initial value problem associated to the Benjamin-Ono’s type equation. Here, we obtain results over local and global well posedness in the sobolev spaces Hs (R) with s 1/2 for the equation: {∂tu + H u - H ∂ 2 xu – 3/2 u∂xu = µ ∂ 2/xu u(0) = ϕ (0-1) where t, x ∈ R, µ 0 and H corresponds to the Hilbert transform, that is one parabolic regularized of the equation { ∂tu + H u − H ∂ 2/xu − 3/2 u∂xu = 0 u(0) = ϕ, (0-2) This equation was obtained for Akers and Milewski in [10] for the bidimensional case. In addittion we obtain well posedness results in space with index negative, in this case for s ∈ (−1, 1), and results in Sobolev space with whole weight.