El problema de auto-valores sobre dominios paramétricos: algunos experimentos numéricos

Abstract

En este trabajo revisamos algunos conceptos básicos relacionados al cálculo numérico de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales. En particular, aplicamos el método de (los) elementos finitos al cálculo de auto-valores y auto-funciones de operadores elípticos en dominios paramétricos. Consideramos dos aplicaciones particulares usando el programa especializado en elementos finitos llamado FreeFeem++. En la primera el dominio es parametrizado por un ángulo θ y consiste de un disco circular de radio uno del que se ha retirado un sector circular de ángulo θ; el valor ángulo θ varía desde cero hasta noventa grados. Numéricamente calculamos una dependencia cuadrática de los dos primeros auto-valores con respecto al ángulo θ. El segundo ejemplo se considera un parámetro entero n y el dominio consiste de un disco circular del que se han retirado n círculos menores. En este último ejemplo observamos el fenómeno conocido como localización de auto-funciones.