Singularidades aisladas en funciones armónicas de valor complejo

Abstract

The main purpose of this work is to study the concept of orientation around an isolated singularity in the context of harmonic functions of complex value. To do this, it begins with a systematic study of the behavior of a harmonic function around a singularity, seeking to find a complex representation of Laurent's harmonic series, which is achieved by obtaining a simple expression in complex terms for homogeneous harmonic polynomials. These results are used to develop a residue theorem for harmonic functions. Then, we investigate the concept of orientation through the use of complex dilatation, focusing on those points where orientation is not preserved or reversed, making the concept of exceptional set essential; in particular, we obtain necessary and sufficient conditions for a harmonic function f not to preserve nor reverse the orientation at any point in its domain. As this research focuses on the isolated singularities, it is necessary to increase the exceptional set to those points and to study their properties.

El principal propósito de este trabajo es estudiar el concepto de orientación alrededor de una singularidad aislada en el contexto de funciones armónicas de valor complejo. Para ello, se empieza con un estudio sistemático del comportamiento de una función armónica alrededor de una singularidad, buscando hallar una representación compleja de la serie armónica de Laurent, lo cual se logra al encontrar una expresión sencilla en términos complejos para los polinomios armónicos homogéneos. Estos resultados se aprovechan para desarrollar un teorema del residuo para funciones armónicas. Luego, se investiga el concepto de orientación mediante el uso de la dilatación compleja, centrándose en aquellos puntos donde no se preserva ni se invierte la orientación, volviéndose fundamental el concepto de conjunto excepcional; en particular, obtenemos condiciones necesarias y suficientes para que una función armónica f no preserve ni invierta la orientación en ningún punto de su dominio. Como dicha investigación se enfoca en las singularidades aisladas, se hace necesario aumentar el conjunto excepcional a aquellos puntos y estudiar sus propiedades.