An abstract Hardy-Littlewood method and applications

Abstract

Esta tesis proporciona una exposición detallada del marco teórico de Frédéric Bayart (2018) para operadores multilineales múltiplemente sumantes. Si bien la teoría de los operadores lineales absolutamente sumantes está bien establecida, deducir la sumabilidad múltiple global a partir de datos aislados por coordenadas presenta desafíos significativos. Este trabajo desglosa de manera sistemática la maquinaria abstracta necesaria para cerrar dicha brecha. Motivados por las desigualdades clásicas de Bohnenblust-Hille y Hardy-Littlewood, exploramos las técnicas fundamentales, específicamente la factorización de Maurey-Schep y un Lema de Sumabilidad de norma mixta generalizado, que permiten pasar de la sumabilidad local a la global. Establecemos las condiciones precisas bajo las cuales la (r_k, p_k)-sumabilidad por coordenadas implica la (s, q)-sumabilidad múltiple global para aplicaciones multilineales con valores en espacios de cotipo q. Adicionalmente, examinamos el Teorema de Inclusión Multilineal para mostrar cómo cambian los índices de sumabilidad global cuando se amplían los espacios de sucesiones débiles subyacentes. Como aplicación principal, estos teoremas se emplean en el análisis armónico para derivar las propiedades óptimas de los productos directos de conjuntos p-Sidon y p-Rider en grupos abelianos compactos. Finalmente, mediante el uso de las desigualdades de Bennett-Carl, funciones de Walsh y productos de Riesz, demostramos que todas las cotas de sumabilidad múltiple y los índices de análisis armónico derivados dentro de este marco son estrictamente óptimos. (Texto tomado de la fuente)

This thesis provides a detailed exposition of Frédéric Bayart's (2018) framework for multiple summing multilinear operators. While the theory of absolutely summing linear operators is well established, deducing global multiple summability from isolated, coordinatewise data presents significant challenges. This work systematically unpacks the abstract machinery needed to bridge that gap. Motivated by the classical Bohnenblust-Hille and Hardy-Littlewood inequalities, we explore the core techniques, namely the Maurey-Schep factorization and a generalized mixed-norm Summing Lemma, that allow us to pass from local to global summability. We establish the precise conditions under which coordinatewise (r_k, p_k)-summability implies global multiple (s, q)-summability for multilinear maps into spaces of cotype q. Additionally, we examine the Multilinear Inclusion Theorem to show how global summability indices shift when the underlying weak sequence spaces are enlarged. As a primary application, these theorems are applied to harmonic analysis to derive the optimal properties of direct products of p-Sidon and p-Rider sets on compact abelian groups. Finally, using Bennett-Carl inequalities, Walsh functions, and Riesz products, we demonstrate that all the multiple summability bounds and harmonic analysis indices derived within this framework are strictly optimal.