Numerical methods for mathematical models of reactive sedimentation
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Resumen
La sedimentación reactiva es un proceso fundamental en los tanques de sedimentación secundaria (SST, por sus siglas en inglés) de las plantas de tratamiento de aguas residuales, donde interactúan simultáneamente fenómenos físicos de separación sólido-líquido y reacciones biológicas. Ignorar esta interacción puede comprometer tanto la eficiencia del sistema como la calidad del efluente tratado.
El objetivo principal de esta tesis doctoral es formular un modelo matemático de sedimentación reactiva que incorpore una geometría variable del SST y una representación porcentual de la fase sólida, así como desarrollar, analizar, comparar e implementar métodos numéricos eficientes para su resolución.
El modelo resultante es un sistema unidimensional en espacio, no lineal y parabólico fuertemente degenerado de ecuaciones diferenciales parciales del tipo convección-difusión-reacción, con flujos convectivos discontinuos. Las incógnitas del sistema son la concentración total de sólidos suspendidos (bacterias, lodo activado), las fracciones específicas de cada componente particulado y las concentraciones de los sustratos disueltos, todas funciones del tiempo y la profundidad. Para resolverlo, se desarrollan dos métodos numéricos basados en volúmenes finitos: uno explícito (XPE) y otro semi-implícito (XPSI). En el primero, los términos convectivo, difusivo y reactivo se discretizan de manera explícita. En el segundo, el término difusivo se trata implícitamente, mientras que los restantes se mantienen explícitos. En ambos casos, los flujos convectivos de las fases sólida y líquida se aproximan mediante el operador upwind y el flujo numérico de Engquist–Osher.
Adicionalmente, bajo condiciones de estabilidad tipo Courant–Friedrichs–Lewy (CFL) adecuadas, se demuestra que ambos esquemas satisfacen un principio de región invariante, lo que garantiza soluciones físicamente relevantes y, en particular, concentraciones no negativas y concentraciones sólidas acotadas. Además, se demuestra la buena colocación del esquema semi-implícito, lo que garantiza que los sistemas de ecuaciones asociados con la actualización de las variables del sistema admiten una solución única.
Finalmente, los resultados numéricos muestran que el modelo propuesto captura adecuadamente comportamientos característicos del proceso de sedimentación, tales como la acumulación de material particulado en el fondo del SST y la baja concentración de sólidos en la zona del efluente. Asimismo, los errores numéricos, calculados con respecto a una solución de referencia, indican que ambos métodos convergen hacia la misma solución, con tasas de convergencia y niveles de precisión similares. No obstante, debido a una condición CFL menos restrictiva, los pasos temporales del método XPSI son más grandes que los del esquema XPE, especialmente en regímenes con mayor rigidez difusiva. En consecuencia, el método semi-implícito resulta más eficiente en términos de tiempo de cómputo, lo que lo convierte en una alternativa particularmente conveniente para simulaciones de larga duración o para escenarios que requieren alta resolución espacial.
Estas contribuciones representan un avance en la modelación y solución numérica de procesos de sedimentación reactiva, con implicaciones prácticas para el análisis y optimización de sistemas de tratamiento de aguas residuales (Texto tomado de la fuente).
Abstract
Reactive sedimentation is a fundamental process in secondary settling tanks (SSTs) of wastewater treatment plants, where physical solid–liquid separation phenomena and biological reactions occur simultaneously. Ignoring this interaction can compromise both the system’s efficiency and the quality of the treated effluent.
The main objective of this doctoral thesis is to formulate a mathematical model of reactive settling that incorporates a variable geometry of the SST and a percentage-based representation of the solid phase, as well as to develop, analyze, compare, and implement efficient numerical methods for its solution.
The resulting model is a one-dimensional, nonlinear, and strongly degenerate parabolic system of partial differential equations of the convection–diffusion–reaction type, with discontinuous convective fluxes. The unknowns of the system are the total concentration of suspended solids (bacteria, activated sludge), the specific fractions of each particulate component, and the concentrations of dissolved substrates, all as functions of time and depth. To solve the model, two finite volume-based numerical methods are developed: an explicit scheme (XPE) and a semi-implicit scheme (XPSI). In the first, the convective, diffusive, and reactive terms are discretized explicitly. In the second, the diffusive term is treated implicitly, while the others remain explicit. In both cases, the convective fluxes of the solid and liquid phases are approximated using the upwind operator and the Engquist–Osher numerical flux.
Additionally, under appropriate Courant–Friedrichs–Lewy (CFL) stability conditions, it is demonstrated that both schemes satisfy an invariant region principle, which guarantees physically relevant solutions and, in particular, non-negative concentrations and bounded solid concentrations. Moreover, the well-posedness of the semi-implicit scheme is proven, which guarantees that the systems of equations associated with the update of the system variables admit a unique solution.
Finally, the numerical results show that the proposed model adequately captures characteristic behaviors of the sedimentation process, such as the accumulation of particulate material at the bottom of the SST and the low solids concentration in the effluent zone. Likewise, the numerical errors, computed with respect to a reference solution, indicate that both methods converge to the same solution, with similar convergence rates and accuracy levels. Nevertheless, due to a less restrictive CFL condition, the time steps of the method XPSI are larger than those of the scheme XPE, especially in regimes with greater diffusive stiffness. Consequently, the semi-implicit method is more efficient in terms of computational time, which makes it a particularly convenient alternative for long-term simulations or for scenarios requiring high spatial resolution.
These contributions represent an advance in the modeling and numerical solution of reactive settling processes, with practical implications for the analysis and optimization of wastewater treatment systems.
Palabras clave propuestas
Tratamiento de aguas residuales; Tanque de sedimentación secundaria; Sedimentación reactiva; Modelo de convección difusión reacción; Simulación numérica; Método explícito; Método semi implícito; Wastewater treatment; Secondary settling tank; Reactive settling; Convection diffusion reaction model; Numerical simulation; Explicit method; Semi implicit method
Descripción
graficas, tablas