Contribución al estudio de los sistemas no suaves (bifurcación zip)

Abstract

En este trabajo se propone extender el concepto de la bifurcación zip introducido por el profesor Miklós Farkas [1984, 1985] en un sistema dinámico suave que modela la competición de dos especies predadores por una presa que se regenera, a sistemas dinámicos de naturaleza no suave, los cuales poseen un conjunto continuo de equilibrios a lo largo del cual la matriz jacobiana del sistema es discontinua y presentar una estrategia para su clasificación basada en la dinámica de sus valores propios para el caso en que las variedades invariantes bidimensionales locales del sistema existen a pesar de la conmutación del sistema no-suave. Se presenta un completo análisis del comportamiento dinámico y asintótico tanto de la componente real como imaginaria de los valores propios asociados a la linealización del sistema a lo largo de su conjunto de equilibrios y se establece un nuevo criterio de clasificación geométrico de las bifurcaciones en sistemas suaves de clase C2 planares, el cual preserva información sobre el número, estabilidad, topología de los conjuntos invariantes y también de las formas geométricas de nodos y focos alrededor de puntos de equilibrios hiperbólicos aislados. Con base en los resultados obtenidos en el análisis de las componentes de los valores propios y del criterio de clasificación geométrico antes mencionado se demuestra que la bifurcación de zip descubierta por Farkas [1985] al estudiar la componente real de los valores propios forma parte de un fenómeno más complejo determinado por la combinación de dos tipos de bifurcación geométrica las cuales son causadas por la acción simultánea de la componente real y la componente imaginaria de los valores propios a lo largo de su conjunto de equilibrios; dando lugar a un escenario de bifurcaciones conformado por 11 tipos de zip geométricos en total cuando el sistema es de naturaleza suave y a un escenario de bifurcaciones conformado por 142 tipos de zip geométricos no suaves en total en sistemas no suaves. En el caso en que las variedades invariantes bidimensionales locales del sistema no existen en el interior de su conjunto de equilibrios se demuestra que el fenómeno de pérdida continua de atractividad del segmento de equilibrios se preserva también en el fenómeno de zip no suave.

Abstract : work proposes to extend the concept of Zip Bifurcation introduced by Miklós Farkas in [1984-1985] in a smooth dynamic system, describing the competition de two predator species for a single regenerating prey species into a non-smooth dynamic system, that has a continuous set of equilibria where the Jacobian matrix of the system is discontinuous; and also shows a strategy for classification based in the dynamic of its eigenvalues for the case which the local two-dimensional invariant manifolds of the system exist despite the commutation of system non-smooth. It is show a complete analysis on the dynamic and asymptotic behavior due the real and imaginary component of the eigenvalues, associated to the system linearity along its equilibria set and establishes a new criterion of geometric classification of bifurcation in a smooth system class C 2 planar, that preserves information about the stability, topology of the invariant set and the geometric forms of node and focus around the isolated hyperbolic equilibria points. Based on the results obtained in an analysis of the component of the eigenvalues and the geometric classification criterion shows that bifurcation zip discovered by Farkas [1985] to study the real component of the eigenvalues is part of a more complex phenomenon given by combination of two geometrical bifurcation caused by simultaneous action of the real and imaginary component of the eigenvalues associated to the system linearity along its equilibria set; generating a bifurcations scenario conformed by 11 types in total of geometric zip bifurcations for smooth system and a bifurcations scenario conformed by 142 types in total the non-smooth bifurcations of geometric zip for non-smooth systems. In the event that the local invariant manifolds two-dimensional system does not exist in the interior of its set of equilibria is shown that the loss of attractivity of the segment of equilibria is preserved too in the non smooth zip phenomenon.