Sobre el espectro de operadores elípticos en dominios acotados

Abstract

El presente documento se enfoca en el estudio de las propiedades espectrales del operador menos Laplaciano con condición de Dirichlet y Neumann, respectivamente. La estrategia para analizar los casos propuestos se basa en la revisión preliminar de la teoría espectral abstracta del análisis funcional y de la teoría lineal de las ecuaciones diferenciales parciales elípticas, de donde se extraen las ideas centrales de este trabajo. En ese sentido, en el Capítulo 1, recordamos varios conceptos familiares de análisis real, teoría de la medida y espacios de Sobolev, así como los principios de la teoría espectral abstracta para operadores lineales, compactos, auto-adjuntos y definidos positivos en espacios de Hilbert reales. En el Capítulo 2 definimos de manera precisa la noción de valor propio para el operador menos Laplaciano con condición de Dirichlet y presentamos en detalle las propiedades cualitativas de los valores y funciones propias asociadas. En el Capítulo 3, que es la principal contribución de la tesis, definimos de manera precisa la noción de valor propio para el operador menos Laplaciano con condición de Neumann y, siguiendo el enfoque del Capítulo 2, estudiamos las propiedades de los valores propios y las correspondientes funciones propias. Finalmente, en el Capítulo 4 mostramos ejemplos típicos en una y dos dimensiones, donde se explora una interesante conexión entre los valores propios y la teoría de números