Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Parciales en Medios Aleatorios y Heterogéneos.

Abstract

Cuando queremos modelar el comportamiento de sistemas sometidos a parámetros que fluctúan por medio de ecuaciones diferenciales deterministas, encontramos limitantes en la aplicabilidad de los modelos. Es por ello que usamos coeficientes estocásticos (en lugar de las funciones deterministas) en las ecuaciones diferenciales, logrando una mejor predicción de la variabilidad de los parámetros del sistema. En este trabajo consideramos el problema de aproximar numéricamente las soluciones de la ecuación de presión y la ecuación de onda definidas en medios aleatorios. Como la solución de este tipo de ecuaciones son procesos estocásticos, utilizamos herramientas de la teoría de probabilidad como el método de Weiner y la expansión de Karhunen-Loéve para separar la parte determinista de la parte aleatoria de las ecuaciones y luego aplicamos un método de elementos finitos para obtener una aproximación de las estadísticas principales de las soluciones.

Abstract: When it is desired to model the behaviour of systems which depend on parameters that fluctuate through deterministic differential equations, we find some limitations when using these models in applications. For that reason we use stochastic coefficients (instead of deterministic functions) in the differential equations, acchieving a better prediction in the variablility of the paramenters of the system. In this work we consider the problem of numerically approximating the solutions to the pressure and wave equations posed over random media. Since the solution of this type of equations are stochastic processes, we use tools of probability theory such as Wiener method and the Karhunen-Loeve expansion to separate the deterministic part form the random part of the coefficients and solutions of the equations and then, we apply a finite element method in order to obtain an approximation on the main statistics of the solutions.