Distribución Beta para modelar proporciones en áreas pequeñas

Abstract

Se implementa la estimación de proporciones en áreas pequeñas basada en modelos. A partir de la distribución beta es posible estimar explícitamente el error cuadrático medio y los errores muestrales asociados al estimador. Se compara los modelos beta clásico, mixtura finita clásico, bayesiano y bayesiano mixto mediante Bootstrap. La importancia de estimar proporciones radica en que la mayoría de los indicadores de encuestas socio-económicas o demográficas y de salud, son medidas relativas y por lo tanto definen su comportamiento en el intervalo (0,1); por su parte, aunque la teoría de SAE no es reciente, la necesidad de obtener información confiable y detallada sobre características de subpoblaciones para las que el diseño muestral no fue planeado, es creciente. Su importancia está en que contar con información con mayores niveles de desagregación permiten focalizar la dinámica de las poblaciones de estudio, logrando mayor eficiencia en la toma de decisiones. La teoría de SAE basada en modelos ha centrado principalmente su desarrollo en la estimación de parámetros que siguen una distribución normal, conceptualmente no adecuada para el caso de proporciones. En este caso, Cepeda (2001) y Cepeda and Gamerman (2005) proponen la distribución beta para modelar proporciones desde el enfoque Bayesiano, mientras que Ferrari and Cribari-Neto (2004) la abordan desde la estimación clásica. Por otro lado, la teoría de SAE incorpora la estimación de parámetros de modelos lineales mixtos, en los cuales los efectos aleatorios describen el comportamiento de las áreas pequeñas en relación con las áreas mayores que las agrupan; para el caso de esta aplicación, las áreas mayores están definidas geográficamente, lo que sugeriría en principio modelarlas a partir de la inclusión de correlaciones espaciales, situación no soportada desde el análisis descriptivo que muestra la posibilidad de agrupar áreas no necesariamente por su posición en el espacio; Torkashvand et al. (2017) por ejemplo, agrupan áreas con base en la distancia euclidiana en modelos lineales mixtos. De lo anterior, se utiliza estimación clásica vía Esperanza Maximización usada en modelos de Mixturas finitas en la distribución Beta, siguiendo Grüe et al. (2012) que maximiza la probabilidad de pertenencia del área pequeña al grupo, a partir de la verosimilitud de la distribución multinomial (debido a que la pertenencia al grupo desconocida) y la distribución beta. En estimación Bayesiana, se modela la media y la dispersión del parámetro de interés y además se incorporan efectos aleatorios a partir de los grupos naturales (áreas geográficas) y mediante agrupaciones obtenidas vía métodos de clasificación. Se utilizan los datos de la Encuesta Multipropósito de Bogotá 2011, para estimar el porcentaje de hogares con carencias en condiciones de Niñez y Juventud a nivel de Unidades de Planeación Zonal, mediante cuatro técnicas de modelamiento: Máxima Verosimilitud Beta, Mixtura Finita Beta, Bayesiano Beta, Bayesiano Mixto Beta. En todos los casos es posible estimar directamente los errores cuadrados medios y por lo tanto los errores estándar muestrales (ES) del parámetro para cada área pequeña, así mismo, con fines de comparación se elimina el efecto de método de estimación, mediante remuestreo de Bootstrap. Los resultados permiten concluir que, para los datos utilizados, tanto en estimación explícita como con remuestreo los errores estándar obtenidos mediante el modelo de Mixturas Finitas Beta, son menores.

The estimation of proportions in small areas based on models is implemented. From the beta distribution it is possible to estimate explicitly the mean square error and the sampling errors associated with the estimator. The classic beta models, classical finite mixture, Bayesian and mixed Bayesian are compared, using Bootstrap.