Regularización de problemas inversos e imágenes borrosas

Abstract

La restauración de imágenes consiste en recuperar, de la mejor manera posible la imagen original, a partir de su correspondiente imagen degradada (fotografía borrosa) y del conocimiento a priori de las causas de la degradación. El problema de recuperar una imagen borrosa es conocido con el nombre de deblurring. Este aparece con frecuencia en ciencias y áreas tecnológicas, tales como la óptica, la medicina y la astronomía. Matemáticamente, el debluring de imágenes está íntimamente conectado a procesos de difusión reversos, los cuales pertenecen al tipo de problemas conocidos como problemas inversos, que suelen ser notoriamente mal propuestos. Así el problema de recuperar una imagen borrosa es altamente inestable y sensible a pequeños cambios en los datos haciendo que su solución por métodos clásicos no sea eficiente. Las métodos de regularización son técnicas que nos ayudan a subsanar este problema de manera adecuada. Tales métodos pueden asegurar la existencia y la estabilidad del deblurring de imágenes, a menudo a costa de perder ciertos detalles en las imágenes originales. Este trabajo se enfoca en los métodos de regularización relacionados con la descomposición en valores singulares, como son regularización de Tikhonov y de truncamiento. Se presentan algunos ejemplos de recuperación de imágenes borrosas y su análisis. / Abstract. Images restoration consist of recovering in the best possible way the original image from its degraded images (blurred photograph) and by using the priori knowledge of the degradation causes. The problem of recovering a blurred image is known as the deblurring. This occurs frequently in areas of science and technology, such as optics, medicine and astronomy. Mathematically, deblurring images is intimately connected to reverses diffusion processes, which belong to the type of problems known as inverse problems that tend to be notoriously poorly proposed. Thus the problem of recovering a blurred image is highly unstable and sensitive to small changes in data. In particular, classical methods are not efficient to achieve an acceptable solution. Regularization methods are techniques that help us to overcome this problem properly. Such methods can ensure the existence and stability of the deblurring images, often at the expense of losing certain details in the original images. This work focuses on regularization methods related decomposition in singular values such as truncation and Tikhonov regularization. Some examples of blurry image restoration and their analysis are presented.