Extended modules over skew PBW extensions

Abstract

In the book “Serre’s problem on projective modules” [42], Tsit Yuen Lam defines the class E of extended rings; these rings satisfy the extended version of the Quillen-Suslin theorem. In this thesis we investigate extended modules and rings for skew P BW extensions from a matrix-constructive approach. We determine conditions on the parameters that define a skew extension A = σ(R)hx1, . . . , xni in order to A be projective-free (PF), or more generally, extended (E). Under such particular conditions we prove Vaserstein’s, Quillen’s patching, Horrocks’ and Quillen-Suslin’s theorems for this type of non-commutative rings of polynomial type. Complementary, but as a very important part of the thesis, a computational package has been developed not only for the computations involved in the matrix-constructive proofs related to the PF and E properties, but also for many homological applications of the Gr¨obner theory of skew P BW extensions developed recently in many papers.

En el libro “Serre’s problem on projective modules” [42], Tsit Yuen Lam definió las clases E de anillos extendidos; estas clases de anillos satisfacen la versión extendida del teorema de Quillen-Suslin. En esta tesis investigamos módulos y anillos extendidos para extensiones P BW torcidas desde una aproximación matricial. Determinamos condiciones sobre los parámetros que definen una extensi´on torcida A = σ(R)hx1, . . . , xni para que A sea proyectivo-libre (PF), o más general, extendida (E). Bajo tales condiciones particulares nosotros probamos los teoremas de Vaserstein, patching de Quillen, Horrocks y QuillenSuslin para este tipo de anillos polinomiales no conmutativos. Como complemento, pero como una muy importante parte de la tesis, algunos paquetes han sido desarrollados no solo para cálculos que envueltos en la prueba matricial constructiva relacionada a las propiedades PF y E, sino también para algunas aplicaciones homológicas de la teoría de bases de Gröbner de extensiones P BW torcidas desarrolladas recientemente en muchos trabajos