Método de elementos finitos para la ecuación de Reacción-Difusión en medios heterogéneos

Abstract

Este trabajo estudia el calculo eficiente de soluciones para problemas de reacción-difusión en una y dos dimensiones con énfasis en medios heterogéneos. Para obtener aproximaciones numéricas usamos el método de elementos finitos para la variable espacial combinada con una discretización temporal tipo Euler. Nos enfocamos en la eficiencia de las soluciones de los sistemas lineales en cada paso de tiempo. Para esto usamos métodos iterativos que emplean precondicionadores de descomposición de dominios. Los métodos de descomposición de dominios son métodos del tipo "divide y vencerás" cuya idea principal es combinar soluciones eficientes en subdominios (del dominio original) para construir precondicionadores en particular y métodos iterativos en general. Este trabajo se concentra en la eficiencia de método de descomposición de dominios aplicados a reacción-difusión en medios heterogéneos. Para esto usamos técnicas recientes introducidas para construir precondicionadores eficientes para problemas de difusión en medios heterogéneos desarrollados en [12, 13] y trabajos relacionados. Estas técnicas recientes incorporan ideas de los métodos de elementos finitos multiescala en la construcción de los precondicionadores. En particular, en esta tesis mostramos numéricamente que estas técnicas pueden ser usadas para las ecuaciones de reacción-difusión con difusión heterogénea. Para esto consideramos una adaptación, a medios heterogéneos, del modelo de Fisher. La adaptación consiste en cambiar el término difusivo homogéneo por un término heterogéneo e isotrópico. El tipo de coeficiente considerado, es un coeficiente con variación multiescala (varia en cualquier parte del dominio con ciertas escalas de tamaño) y con alto contraste (medido como el coeficiente entre el mayor y menor valor del coeficiente de difusión).

Abstract: In this works we study the efficient computation of one and two dimensional reactiondiffusion equations with emphasis in the case of heterogeneous media. We use the finite element method to discretize the space variable combined with a time discretization. We focus on the efficient solution of the linear systems that needs to be solve in order to advance in time. For this we use iterative method with domain decomposition preconditioners. The domain decomposition methods are “divide and conquer” techniques where a main idea is to combine solution in subdomains to construct preconditioners in particular and iterative method in general. We focus en the performance of the domain decomposition method applied to the reaction diffusion equation in heterogeneous media. We use recent techniques introduced to construct preconditioners for diffusion problems on heterogeneous media in [12, 13]. These recent techniques incorporate ideas from multiscale finite element methods. In this work we show that the same techniques can be used with good results for reaction-diffusion problems posed in heterogeneous media. For this we use and adaptation, to heterogeneous media, of the model proposed by Fisher. The modification consist in replacing the homogeneous diffusion by and heterogeneous isotropic diffusion. We consider a coefficient with multiscale (that local variation across the domain) and high-contrast (measured ad the ration between largest and smallest value of the coefficient).