Sobre la Solución Numérica de Problemas Inversos

Abstract

En este trabajo se revisan algunos métodos numéricos y estadísticos para la solución de problemas inversos. El enfoque Bayesiano presentado es cada vez más utilizado en las aplicaciones y proporciona una estimación de la función de densidad de probabilidad de los parámetros de interés, contrario deterministas que calculan solo un valor estimado para cada uno de los parámetros. Para ilustrar el potencial de los métodos Bayesianos para la solución de problemas inversos, se presenta la solución de recuperación de imágenes y recuperación de parámetros de una ecuación diferencial ordinaria (EDO), escolástica (EDE) y parcial (EDP). Éste último está asociado al problema de tomografía de impudencia eléctrica. En cada uno de éstos ejemplos se consideran métodos numéricos adecuados para la solución del problema directo.

Abstract: In this work, we review some important statistical and numerical methods for the solution of inverse problems. The Bayesian approach presented here is useful in applications and it computes an estimated probability density function for the parameters of interest. This is the main difference with deterministic methods that provide only one value for the parameters with no confidence interval. In order to illustrate the applicability of the presented Bayesian approach for the solution of inverse problems, we present several models such as image recovery, parameters recovery of deterministic and stochastic ordinary differential equations and partial differential equations. The later associated to the problem of electrical impedance tomography. En each example we consider the adequate numerical method for the solution of the direct problem.