Control integrado para la transmisión vectorial del dengue con dispersión

Abstract

En la siguiente investigación se presentan modelos matemáticos con base en ecuaciones diferenciales que representan la transmisión del virus del dengue en la población humana. Para ello, primero se indica un breve resumen sobre la enfermedad, el mosquito transmisor y los mecanismos de control que existen para evitar su propagación. Inicialmente, se plantea un modelo que se somete a publicación y, con base al cual, tomando algunas hipótesis adicionales, se presentan los modelos que se trabajaron en adelante durante la investigación.

El primer modelo se basa en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que describen la dinámica de transmisión del virus del dengue entre la población humana y el mosquito. Este modelo considera que los mosquitos hembra infectados con la bacteria pueden transmitir el virus del dengue a los seres humanos, pero con menor probabilidad que los mosquitos que no están infectados. Se tiene en cuenta también el caso particular en el que el mosquito hembra infectado con la bacteria es incapaz de transmitir el virus del dengue a los seres humanos. Finalmente, mediante cálculos simples, se obtiene el último modelo que describe únicamente el crecimiento poblacional del mosquito hembra adulto, teniendo en cuenta los tres mecanismos de control existentes sobre él, a saber, control biológico mediante el uso de la bacteria Wolbachia, control mecánico mediante el uso de trampas y el control químico mediante el uso de insecticidas.

En los capítulos cuatro y cinco se realiza un análisis de estabilidad local de los modelos planteados, para lo cual se tiene en cuenta la linealización del sistema alrededor de los puntos de equilibrio. Se ha partido del análisis de estabilidad del modelo que describe el crecimiento poblacional del mosquito, encontrando los puntos de equilibrio y los umbrales de crecimiento de las poblaciones. En dicho modelo, se han determinado las condiciones sobre los umbrales que revelan la estabilidad de cada punto de equilibrio. Con base a la información de estabilidad local del modelo anterior, se ha reemplazado cada punto de equilibrio en los sistemas de transmisión del virus del dengue y así, se han podido establecer sus puntos de equilibrio y condiciones de estabilidad dependientes del Número Básico de Reproducción dado en cada caso. Igualmente, dada la importancia a nivel epidemiológico, en el capítulo seis se calculan la Fuerza de Infección, la Capacidad Vectorial y el Número Básico de Reproducción como funciones dependientes del tiempo y la temperatura para los modelos de transmisión del virus. Además, con el fin de evidenciar los resultados analíticos, en cada uno de estos capítulos, se realizan simulaciones numéricas mediante el uso del software Matlab.

En los capítulos siete y ocho se retoma el modelo de crecimiento poblacional del mosquito hembra adulto. En el capítulo siete se toma con el fin de encontrar las funciones dependientes del tiempo para los controles por insecticida y bacteria, los cuales hacen que los costos de aplicación de los mismos sean mínimos y al mismo tiempo logren desaparecer la población de mosquitos transmisores del virus. Por su parte, en el capítulo ocho se retoma el modelo con el fin de demostrar que la estabilidad del modelo no varía, aun cuando se considere la dispersión espacial del mosquito. Como en los capítulos anteriores, se realizan simulaciones numéricas que muestran los resultados obtenidos de forma analítica.

Cabe resaltar que, en los capítulos en donde los resultados matemáticos son más extensos y en los que se ha hablado poco de su interpretación biológica, se presenta al final una sección de discusión que sirva de ayuda para su comprensión e interpretación.

The following research presents mathematical models based on differential equations that represent the transmission of the dengue virus in the human population. To do this, we first give a brief summary of the disease, the mosquito that transmits it, and the control mechanisms that exist to prevent its spread. Then, a model is proposed and submitted for publication and, based on this and some additional hypotheses, further models that were worked on during the investigation are presented.

The first model is based on a system of ordinary differential equations that describe the dynamics of dengue virus transmission the between the human and mosquito populations. This model considers that female mosquitoes infected with the bacteria can transmit the dengue virus to humans, but with a lesser probability than mosquitoes that are not infected. It also takes into account the particular case in which the female mosquito infected with the bacteria is unable to transmit the dengue virus to humans. Finally, by means of simple calculations, we obtain the last model that describes only the population growth of the adult female mosquito, taking into account the three existing control mechanisms, namely: biological control through the use of the bacterium \textit {Wolbachia}; mechanical control through the use of traps; and chemical control through the use of insecticides.

In chapters four and five a local stability analysis of the proposed models is carried out by means of linearization of the system around the points of equilibrium. The stability analysis of the model describing the population growth of the mosquito is found, finding the equilibrium points and the growth thresholds of the populations. In this model, conditions on the thresholds that reveal the stability of each equilibrium point have been determined. Based on the local stability information of the previous model, each equilibrium point in the transmission systems of the dengue virus has been replaced and its equilibrium points and stability conditions dependent on the Basic Number of Reproduction given in each case. Also, given the importance at the epidemiological level, in chapter six the Infection Force, the Vector Capacity and the Basic Number of Reproduction are calculated as functions dependent on time and temperature for the models of virus transmission. In addition, in order to demonstrate the analytical results, in each of these chapters, numerical simulations are carried out using Matlab software.

In chapters seven and eight we return to the model of population growth of the adult female mosquito. In chapter seven it is used to find time-dependent functions for the insecticide and bacteria control mechanisms, which minimise the costs of application and while reducing the population of mosquitoes transmitting the virus to zero. For its part, in chapter eight the model is used to demonstrate that the stability of the model does not change even when the geographical dispersion of the mosquito is considered. As in the previous chapters, numerical simulations are carried out that show the results obtained analytically.

It should be noted that, in some chapters the mathematical results are more extensive but little has been said about their biological interpretation. A discussion section is presented at the end to help understand and interpret these results.