Configuración óptima de transductores piezoeléctricos para control activo de vibraciones en estructuras delgadas utilizando el método de optimización topológica

Abstract

En esta tesis, una técnica de optimización novedosa; llamada Método de Optimización Topológica (MOT), es utilizada para proponer una solución a problemas de vibración estructural. Un conjunto de transductores piezoeléctricos en configuración de sensores y actuadores se modelan usando el Método de los Elementos Finitos (MEF). Para esto, se desarrolló un software de simulación que permite realizar análisis estáticos, modales y armónicos con elementos finitos hexaédricos de segundo orden tipo Brick-3D de 20 nodos, con cuatro grados de libertad por nodo, tres de ellos de desplazamientos y uno de voltaje. A partir del modelo numérico, se genera un modelo de control en variables de espacios de estado mediante un conversión matemática que reorganiza los grados de libertad en conjuntos de matrices de estado que relacionan la estructura con los actuadores y sensores. Adicionalmente, se realiza durante la conversión del modelo una reducción modal truncada del sistema a través de un cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas modales usando sus vectores propios. Este modelo de espacios de estado es utilizado para formular un problema de optimización que encuentra una distribución topológica óptima de transductores piezoeléctricos sobre la estructura elástica, usando dos funciones objetivo evaluadas paralelamente, que calculan la maximización de la traza del gramiano de controlabilidad y del gramiano de observabilidad. En la solución del problema de optimización se usa un modelo de interpolación de material SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization), se definen límites móviles filtrados para resolver el problema con el método de Programación Lineal Secuencial (PLS), y se realiza un análisis de sensibilidad por un método numérico de diferencias finitas de ambas funciones objetivo. Finalmente, un controlador óptimo LQG (Linear-Quadratic Gaussian Regulator) es implementado para verificar el rendimiento del sistema optimizado para un caso de estudio de una viga en cantilever sometida a vibración. Los resultados de simulación con el MEF son verificados por comparación directa con el software comercial ANSYS®, y los resultados de optimización son verificados con análisis energéticos del control, la salida del sensor, y el coeficiente de amortiguamiento del sistema planta-controlador.

Abstract: In this thesis, a novel optimization technique; called the Topology Optimization Method (TOM), is used to propose a solution to structural vibration problems. A set of piezoelectric transducers as sensors and actuators are modeled using the Finite Element Method (FEM). To do this, a software was developed that allows simulations of static, modal and harmonic analysis with second-order hexahedral Brick-3D finite elements of 20 nodes, with four degrees of freedom per node, three of them for displacements and one for voltage. From the numerical model, a control model is generated in state-space variables through a mathematical conversion that reorganizes the degrees of freedom in sets of state matrices that relate the structure to the actuators and sensors. Additionally, a truncated modal reduction of the system is carried out during the conversion of the model through a change of cartesian coordinates to modal coordinates using its eigenvectors. This model of state-space is used to formulate an optimization problem that finds an optimal topology distribution of piezoelectric transducers over an elastic structure, using two objective functions evaluated in parallel, which calculate the maximization of the trace of the gramians of controllability and observability. In the solution of the optimization problem, a Solid Isotropic Material with penalization (SIMP) material interpolation model is used, filtered mobile limits are defined to solve the problem with the Sequential Linear Programming (SLP) method, and an analysis of sensitivity with a numerical method of finite differences of both objective functions is performed. Finally, a Linear-Quadratic Gaussian Regulator (LQG) controller is implemented to verify the performance of the optimized system for a study case of a cantilever beam subject to vibration. The results of the simulation with the FEM are verified by direct comparison with the commercial software ANSYS®, and the optimization results are verified with an energy analysis of the control, the sensor output, and the damping coefficient of the plant-controller system.