Dynkin Functions and Its Applications

Abstract

Dynkin functions were introduced by Ringel as a tool to investigate combinatorial properties of hereditary artin algebras. According to Ringel, a Dynkin function consists of four sequences associated to An, Bn, Cn, Dn and five single values associated to the diagrams E6, E7, E8, F4 and G2. He also proposes to create an On-line Encyclopedia of Dynkin functions (OEDF) with the same purposes as the famous OEIS. Dynkin functions arise from the context of categorification of integer sequences, which according to Ringel and Fahr it means to consider suitable objects in a category instead of numbers of a given integer sequence. They gave a categorification of Fibonacci numbers by using the Gabriel's universal covering theory and the structure of the Auslander-Reiten quiver of the 3-Kronecker quiver. For instance, if Λ denotes a hereditary artin algebra associated to a Dynkin diagram ∆n then r(∆n) the number of indecomposable modules, a(∆n) the number of antichains in mod Λ, and tn(∆n) the number of tilting modules are Dynkin functions. In particular, we are focused on the way that some Dynkin functions act on Dynkin diagrams of type An. In this work, we follow the ideas of Ringel regarding Dynkin functions by investigating the number of sections in the Auslander-Reiten quiver of algebras of finite representation type. Dyck paths categories are introduced as a combinatorial model of the category of representations of quivers of Dynkin type An and it is shown an algebraic interpretation of frieze patterns as a direct sum of indecomposable objects of the category of Dyck paths. In particular, it is proved that there is a bijection between some Dyck paths and perfect matchings of some snake graphs. The approach allows us to give formulas for cluster variables in cluster algebras of Dynkin type An in terms of Dyck paths. At last but not least, it is introduced some Brauer configuration algebras such that the dimension of these algebras and its corresponding centers can be obtained via some combinatorial properties of the Catalan triangle. This research was partially supported by COLCIENCIAS convocatoria doctorados nacionales 785 de 2017.

Las funciones Dynkin fueron introducidas por Ringel como una herramienta para investigar las propiedades combinatorias de las álgebras hereditarias de artin. Según Ringel, una función Dynkin consta de cuatro sucesiones asociadas a An, Bn, Cn, Dn y cinco valores únicos asociados a los diagramas E6, E7, E8, F4 y G2. También propone crear una Enciclopedia en línea de funciones Dynkin (OEDF) con los mismos propósitos que la famosa OEIS. Las funciones Dynkin surgen del contexto de categorización de sucesiones enteras, que según Ringel y Fahr significa considerar objetos adecuados en una categoría en lugar de números de una sucesión entera dada. Ellos dieron una categorización de los números de Fibonacci utilizando la teoría de cubrimiento universal de Gabriel y la estructura del carcaj Auslander-Reiten del carcaj 3-Kronecker. Por ejemplo, si Λ denota una álgebra hereditaria de artin asociada a un diagrama de Dynkin ∆n entonces r (∆n) el número de módulos indescomponibles, a(∆n) el número de anticadenas en mod Λ, y tn (∆n) el número de módulos inclinantes son funciones Dynkin. En particular, nos centramos en la forma en que algunas funciones Dynkin actúan en los diagramas de Dynkin de tipo An. En este trabajo, seguimos las ideas de Ringel con respecto a las funciones Dynkin investigando el número de secciones en el carcaj de Auslander-Reiten de álgebras de tipo representación finita. Las categorías de caminos de Dyck se introducen como un modelo combinatorio de la categoría de representaciones de carcajes de tipo Dynkin An y se muestra una interpretación algebraica de patrones de friso como una suma directa de objetos indescomponibles de la categoría de caminos de Dyck. En particular, se ha demostrado que existe una biyección entre algunas caminos de Dyck y emparejamientos perfectos de algunos grafos serpientes. El enfoque nos permite dar fórmulas para las variables de conglomerado en álgebras de conglomerado Dynkin de tipo An en términos de caminos de Dyck. Por último, pero no menos importante, se introducen algunas álgebras de configuración de Brauer de modo que la dimensión de estas álgebras y sus correspondientes centros se puede obtener mediante algunas propiedades combinatorias del triángulo de catalán. Esta investigación fue apoyada parcialmente por COLCIENCIAS convocatoria doctorados nacionales 785 de 2017.