Categorification of Some Integer Sequences and Its Applications

Abstract

Categorification of real valued sequences, and in particular of integer sequences is a novel line of investigation in the theory of representation of algebras. In this theory introduced by Ringel and Fahr, numbers of a sequence are interpreted as invariants of objects of a given category. The categorification of the Fibonacci numbers via the structure of the Auslander-Reiten quiver of the 3-Kronecker quiver is an example of this kind of identifications. In this thesis, we follow the ideas of Ringel and Fahr to categorify several integer sequences but instead of using the 3-Kronecker quiver, we deal with a kind of algebras introduced recently by Green and Schroll called Brauer configuration algebras. Relationships between these algebras, some matrix problems and rational knots are used to interpret numbers in some integer sequences as invariants of indecomposable modules over path algebras of the 2-Kronecker quiver and the four subspace quiver. The results enable us to define the message of a Brauer Configuration and labeled Brauer configurations in order to give an interpretation of the number of perfect matchings of snake graphs, the number of homological ideals of some Nakayama algebras, and the number of k-paths linking two fixed points (associated to the Lindström problem) in a quiver as specializations of indecomposable modules over suitable Brauer configuration algebras. Actually, this setting can be also used to define the Gutman index of a tree (or the trace norm of a digraph, which is a fundamental notion in the topological index theory), magic squares, and different parameters of traffic flow models in terms of this kind of algebras. This research was partially supported by COLCIENCIAS convocatoria doctorados nacionales 785 de 2017.

La categorización de sucesiones de números reales, y en particular de sucesiones enteras es una nueva línea de investigación en la teoría de la representación de álgebras. En esta teoría introducida por Ringel y Fahr, los números de una sucesión se interpretan como invariantes de objetos de una categoría dada. La categorización de los números de Fibonacci vía la estructura del carcaj de Auslander-Reiten del carcaj 3-Kronecker es un ejemplo de este tipo de identificaciones. En esta tesis, seguimos las ideas de Ringel y Fahr para categorizar sucesiones de números enteros pero en lugar de utilizar el carcaj 3-Kronecker nosotros usamos un tipo de álgebras introducidas recientemente por Green y Schroll llamadas álgebras de configuración de Brauer. Las relaciones entre estas álgebras, algunos problemas matriciales y nudos racionales se utilizan para interpretar números en algunas secuencias enteras como invariantes de módulos indescomponibles sobre el álgebra de caminos del carcaj 2-Kronecker y el carcaj de los cuatro subespacios. Los resultados nos permiten definir el mensaje de una configuración de Brauer y configuraciones de Brauer etiquetadas para dar una interpretación del número de emparejamientos perfectos de los gráficos de serpientes, el número de ideales homológicos de algunas álgebras de Nakayama y el número de k-trayectorias que enlazan dos puntos fijos (asociados al problema de Lindström) en un carcaj como especializaciones de módulos indescomponibles sobre álgebras de configuración de Brauer adecuadas. En realidad, este tipo de configuraciones también se pueden utilizar para definir el índice de Gutman de un árbol (o la norma traza de un dígrafo, que es una noción fundamental en la teoría del índice topológico), cuadrados mágicos y diferentes parámetros de los modelos de flujo de tráfico en términos de este tipo de álgebras. Esta investigación fue apoyada parcialmente por COLCIENCIAS convocatoria doctorados nacionales 785 de 2017.