Modelos de poblaciones con crecimiento logístico y memoria.

Abstract

La modelación matemática de sistemas biológicos está basada en el uso de diferentes herramientas, en particular en ecuaciones diferenciales y, por tanto, en sistemas dinámicos. Recientemente, se ha buscado que los modelos biológicos consideren el concepto de memoria, lo cual ha llevado a formular sistemas de ecuaciones en derivadas de orden fraccionario como el operador diferencial de Caputo. Con base en esto, se plantean varios objetivos dentro de esta investigación, incluyendo reconocer los resultados respecto a la estabilidad de las soluciones de equilibrio existentes, comparar el comportamiento cualitativo de los sistemas ordinario y fraccionario y aplicar estos resultados en modelos de poblaciones y transmisión de enfermedades. En aras de ello, se realiza el estudio de diferentes sistemas por medio de linealización y la construcción de los diagramas de fase usando el método predictor-corrector de Adams-Bashforth-Moulton. Los modelos estudiados corresponden a modelos predador-presa, de competición y transmisión de epidemias, incluyendo algunos casos con crecimiento logístico. Respecto al comportamiento de los diferentes sistemas, se puede ver que el orden de la derivada es determinante en la estabilidad de los mismos, obteniendo casos en los que este valor corresponde a un parámetro de bifurcación, llegando inclusive a obtener comportamientos consistentes con bifurcaciones de Hopf. (Texto tomado de la fuente)

Mathematical modeling of biological systems is based on the use of different tools, particularly differential equations and, therefore, dynamical systems. Recently, biological models have sought to consider the concept of memory, which has led to the formulation of systems of fractional order derivative equations such as the Caputo differential operator. Based on this, several objectives are raised within this research, including recognizing the results regarding the stability of existing equilibrium solutions, comparing the qualitative behavior of ordinary and fractional systems, and applying these results in models of populations and disease transmission. For this purpose, the study of different systems is carried out by means of linearization and the construction of phase diagrams using the Adams-Bashforth-Moulton predictor-corrector method. The studied models correspond to predator-prey, competition and epidemics transmission models, including some cases with logistic growth. Regarding the behavior of the different systems, it can be seen that the order of the derivative is determinant in their stability, obtaining cases in which this value corresponds to a bifurcation parameter, even obtaining behaviors consistent with Hopf bifurcations.