Gröbner-Shirshov bases for Sklyanin algebras
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Trabajo de grado - Maestría
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InglésFecha de publicación
2024Abstract
In this thesis we study the theory of Gröbner-Shirshov bases for three- dimensional and four-dimensional Sklyanin algebras. First, we present a brief construction of free algebras, and then describe the theory of Gröbner-Shirshov bases of these algebras. In addition, we present examples on the computation of the bases, and in particular, we consider some relations with PBW algebras. Next, we address the origin and review some of the properties of three-dimensional Sklyanin algebras, especially the PBW property. With this, we classify the three-dimensional Sklyanin algebras that are or not PBW algebras into at least eight families, and we compute their Gröbner-Shirshov bases, obtaining in some cases finite bases and in others, apparently infinite ones. In the same way, we study four-dimensional Sklyanin algebras, reviewing some of their algebraic properties, their classification into six families of degenerate algebras, and we compute their Gröbner-Shirshov bases obtaining only for one family, a finite basis. Finally, we use a code developed in MATLAB to review the hand-made computations of the Gröbner-Shirshov bases in the different families of the three-dimensional Sklyanin algebras, and at the same time test the correctness of the code. Once verified, we use it to perform the calculations for four-dimensional Sklyanin algebrasResumen
En esta tesis estudiamos la teoría de bases de Gröbner-Shirshov para las álgebras de Sklyanin tridimensionales y cuatrodimensionales. En primer lugar, presentamos una breve construcción de las álgebras libres, para luego describir la teoría de bases de Gröbner- Shirshov de estas álgebras. Además, presentamos ejemplos sobre el cálculo de dichas bases, y en particular, conectamos estas bases con las álgebras PBW. Luego, abordamos el origen y revisamos algunas de las propiedades sobre las álgebras de Sklyanin tridimensionales, en especial, la propiedad PBW. Gracias a esta, clasificamos en al menos ocho familias las álgebras de Sklyanin tridimensionales que son o no son álgebras PBW, y calculamos sus bases de Gröbner-Shirshov, obteniendo en algunos casos bases finitas y en otros, al parecer, infinitas. De la misma manera, estudiamos las álgebras de Sklyanin cuatrodimensionales, revisando algunas de sus propiedades algebraicas y las clasificamos en seis familias de álgebras degeneradas, y calculamos sus bases de Gröbner-Shirshov obteniendo solo para una familia, una base finita. Finalmente, utilizamos un código hecho en MATLAB para revisar los cálculos hechos a mano de las bases de Gröbner-Shirshov en las diferentes familias de las álgebras de Sklyanin tridimensionales, y al mismo tiempo probar la veracidad del código. Una vez comprobado, lo usamos para realizar los cálculos para álgebras de Sklyanin cuatrodimensionales (Texto tomado de la fuente)Palabras clave
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