Involutive and SAGBI bases for skew PBW extensions

Abstract

In this thesis, we study homological properties and SAGBI and Involutive bases of the noncommutative rings known as skew PBW extensions. First, we present some ring- theoretical notions of these extensions that are necessary throughout the thesis. With the aim of showing the generality of these objects in areas such as ring theory and noncommutative geometry, we include a non-exhaustive list of noncommutative algebras that are particular examples of these rings. Second, we characterize several homological properties of these ex- tensions. We provide a new and more general filtration to these extensions, and introduce the notion of σ-filtered skew PBW extension with the aim of studying its homological properties. We show that the homogenization of a σ-filtered skew PBW extension over a coefficient ring is a graded skew PBW extension over the homogenization of such a ring. By using this fact, we prove that if the homogenization of the coefficient ring is Auslander-regular, then the homogenization of the extension is a domain Noetherian, Artin-Schelter regular, Zariski and (ungraded) skew Calabi-Yau. Third, we present our proposal of SAGBI bases theory for skew PBW extensions over algebras. We consider the notion of reduction which is necessary in the characterization of these bases, and then establish an algorithm to find the normal form of an element. Then, we define what a SAGBI basis is, and formulate a criterion to determine when a subset of a skew PBW extension over a field is a SAGBI basis. In addition, we establish an algorithm to find a SAGBI basis from a subset contained in a subalgebra of a skew PBW extension. We illustrate our results with different examples of noncommutative algebras. We also investigate the problem of poly- nomial composition for SAGBI bases of subalgebras of skew PBW extensions. Finally, we present a theory of Involutive bases for skew PBW extensions over fields. We consider the notions of weak and strong Involutive bases, and then we define the involutive reduction process and involutive remainder that are necessary for the characterization of weak (strong) Involutive bases. Next, we introduce the notion of standard Involutive representation for elements of a subset of a skew PBW extension. Also, we give the definition of minimal Involutive basis and show the existence of a monic, involutively autoreduced, minimal Involutive basis. Finally, we establish different algorithms that compute involutive standard representations, principal involutive autoreduction, and an Involutive basis of a left ideal of a skew PBW extension. In this way, the existence of a finite Involutive basis for these ideals is proved by assuming that the involutive division is constructive Noetherian.

En esta tesis, estudiamos propiedades homológicas y bases SAGBI e Involutivas de los anillos no conmutativos conocidos como extensiones PBW torcidas. Primero, presentamos algunas nociones teóricas de la teoría de anillos de estas extensiones que son necesarias a lo largo de la tesis. Con el propósito de mostrar la generalidad de estos objetos en áreas como la teoría de anillos y la geometría no conmutativa, incluimos una lista no exhaustiva de álgebras no conmutativas que son ejemplos particulares de estos anillos. Segundo, caracterizamos variadas propiedades homológicas de estas extensiones. Brindamos una nueva y más general filtración para estas extensiones, e introducimos la noción de extensión PBW torcida sigma-filtrada con el propósito de estudiar sus propiedades homológicas. Mostramos que la homogenización de una extensión PBW torcida sigma-filtrada sobre un anillo de coeficientes es una extensión PBW torcida graduada sobre la homogenización de dicho anillo. Utilizando este hecho, probamos que si la homogenización del anillo de coeficientes es Auslander-regular, entonces la homogenización de la extensión es un dominio noetheriano, Artin-Schelter regular, Zariski y Calabi-Yau torcida. Tercero, presentamos nuestra propuesta de teoría de bases SAGBI para extensiones PBW torcidas sobre álgebras. Consideramos la noción de reducción la cual es necesaria en la caracterización de estas bases, y luego establecemos un algoritmo para encontrar la forma normal de un elemento. Después, definimos lo que es una base SAGBI, y formulamos un criterio para determinar cuándo un subconjunto de una extensión PBW sobre un campo es una base SAGBI. De hecho, establecemos un algoritmo para encontrar una base SAGBI a partir de un subconjunto contenido en una subálgebra de una extensión PBW torcida. Ilustramos nuestros resultados con diferentes ejemplos de álgebras no conmutativas. También investigamos el problema de la composición polinomial para bases SAGBI de subálgebras de extensiones PBW torcidas. Finalmente, presentamos una teoría de bases Involutivas para extensiones PBW torcidas sobre campos. Consideramos las nociones de base Involutiva débil y fuerte, y luego definimos el proceso de reducción involutiva y el residuo involutivo que son necesarios para la caracterización de bases Involutivas débiles y fuertes. A continuación, presentamos la noción de representación involutiva estándar para elementos de un subconjunto de una extensión PBW torcida. Además, damos la definición de base Involutiva minimal y mostramos la existencia de una base Involutiva minimal, mónica, e involutivamente autorreducida. Finalmente, establecemos diferentes algoritmos que calculan representaciones estándar involutivas, autorreducción involutiva principal, y una base Involutiva de un ideal izquierdo de una extensión PBW torcida. De esta manera, la existencia de una base Involutiva finita para estos ideales se demuestra asumiendo que la división involutiva es noetheriana constructiva. (Texto tomado de la fuente).