Estudio comparativo entre los métodos espectrales y la formulación Petrov-Galerkin para la solución numérica de problemas con convección dominante

Abstract

El presente trabajo analiza y compara los problemas numéricos derivados al modelar problemas altamente convectivos empleando diversos métodos espectrales y el método Streamline Petrov-Galerkin de elementos finitos (SUPG). El análisis comparativo de las gráficas de convergencia para diferentes números de Peclet, mostraron la superioridad de los métodos espectrales sobre las técnicas convencionales usadas para tratar problemas de advección dominante: elementos finitos SUPG y diferencias finitas en contracorriente. Por otro lado se observó que a diferencia de los elementos finitos convencionales (no jerárquicos), los métodos espectrales aumentan su rata de convergencia a medida que aumenta el número de grados de libertad. La implementación y solución de múltiples problemas tipo permitieron concluir sobre las diferencias generadas por el uso de incógnitas con sentido físico, como las empleadas en los métodos de colocación, y las incógnitas trabajadas en los métodos espectrales propiamente dichos. Dichas diferencias marcan complejidades importantes cuando se imponen condiciones de borde o cuando se trabajan problemas no lineales. No obstante las ventajas de convergencia encontradas en los métodos espectrales, se pueden citar grandes limitantes en la aplicación de estas técnicas en problemas multidimensionales, en cuyos casos muchas veces son necesarios complejos mapeos para poder transformar el dominio del problema en una geometría regular. / Abstract. The present work analizes and compares the numerical problems derivates when highly convective problems are modelled using several spectral methods and Streamline Petrov-Galernkin method of ?nite elements (SUPG). The comparative analisis of the convergence graphs to di?erent Peclet numbers showed the superiority of the spectral methods over conventional techniques used to treat advection dominant problems: Finite elements SUPG and upwind ?nite di?erences. On the other hand it was observed unlike the conventional ?nite element (nonhierarchical), spectral methods increase its rate of convergence as the number of degrees of freedom. The implementation and solution of example problems allow make conclusions about the di?erences generated by the use of unknows with phisycal sense, as those used in the colocation methods, and the unknows worked in the spectral methods themselves.These di?erences mark important complexities when boundary conditions are imposed or when nonlineal problems are considered. Despite of the advantages of convergency found in the spectral methods, big limitations may be mentioned in applying these techniques to multidimensional problems, These cases are often complex mappings required to transform the problem domain into a regular geometry.