Optimización estática y dinámica en economía

Abstract

El presente texto es el resultado de la depuración, durante varios semestres, de las notas de clase de los cursos de economía matemática y en particular, los primeros siete capítulos, del curso de matemáticas III para la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá. Se ha querido presentar los temas abandonando la visión hacia la fíısica o la ingeniería, con enfoque y aplicaciones a las ciencias económicas, que sirvan de base a los cursos que requieren las herramientas matemáticas de optimización estática y dinámica aquí presentadas. Se han desarrollado temas que van un poco más allá de lo básico, sin convertirse en un libro para estudiantes de matemáaticas; se pretende seguir la idea de Maurice Allais: “... El rigor debe apuntar hacia la comprensión del alcance de la hipótesis y la interpretación de los resultados. Jamás debe convertirse en un pretexto para hacer matemáticas por sí mismas”. Por eso es un tanto informal, no se demuestran todos los teoremas, la teoría se ilustra con ejemplos y al final de cada tema se proponen ejercicios de variada dificultad para ilustrar y mecanizar lo expuesto en cada sección. En los tres primeros capítulos se presentan las bases sobre conjuntos, topología, funciones, grafos y contornos. El capítulo cuatro está dedicado a la convexidad. En el cinco y el seis se estudian la optimización estática no restringida y restringida, respectivamente, y se exponen los teoremas más importantes sobre optimización estática, base de la microeconomía. Los capítulos siete y ocho construyen las bases en procesos dinámicos discretos y continuos para poder presentar, en el nueve y diez, los métodos básicos de optimización dinámica. En los ´ultimos se tratan los temas b´asicos de optimizaci ´on din´amica: cálculo de variaciones, control óptimo y programación dinámica. Aunque éstos no hacen parte del curso de matemáticas III, sí lo son de los de economía matemática, además de servir como referencia en temas de crecimiento económico, macroeconomía y pol´ıtica econ´omica. En la última sección de los capítulos siete, ocho y nueve se presentan tres aplicaciones de la teoría a modelos económicos de mercado, generacionales y de enfoque de la dinamica en economía. Como es intrínseco a cualquier actividad humana, el texto puede contener errores. Agradezco a los profesores Víctor Ardila, Sergio Monsalve y Jorge David Aponte y a mis estudiantes de semestres anteriores que han tenido la paciencia de leer y corregir versiones preliminares de este texto, como también a quienes me hagan notar los errores que aún queden por corregir.