Estudio de bifurcaciones para un modelo de interacción entre pesca, silvicultura y población

Abstract

En las últimas décadas, la problemática ambiental se ha incrementado de manera exponencial debido al desarrollo industrial acelerado; la explotación de los recursos naturales con fines económicos implica la posibilidad de que la cantidad de recursos se vea disminuida y su recuperación no sea tan rápida como su consumo. El desarrollo sostenible es un término establecido por la Comisión de Bruntland para referirse a un estado óptimo bioeconómico, en el cual los recursos ecológicos coexistan con la población humana y su desarrollo socioeconómico. Es decir, alcanzar un desarrollo sostenible para la sociedad, significa preservar el medio ambiente sin obstaculizar el desarrollo económico, industrial, tecnológico y cultural que se ha estado dando en los últimos años. En distintas áreas de la ciencia y la ingeniería se han buscado métodos para ahorrar recursos y, a la vez, evitar los disturbios ambientales, mientras se genera energía o se fabrican objetos para la sociedad. La ingeniería ambiental es una de las áreas más influyentes en este campo, pero también lo han sido la biología, la ecología y otras ciencias naturales. Para mejorar la comprensión del término desarrollo sostenible e identificar formas de control en cuanto al manejo de recursos, se han desarrollado modelos bioeconómicos; en particular, se han creado modelos depredador-presa que visualizan a los recursos como presas y al hombre como el depredador más influyente. Se han implementado diversas técnicas de modelamiento, como la dinámica de sistemas, entre otras, que construyen modelos a través de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, el análisis del modelo es un paso decisivo para sacar conclusiones de lo que está sucediendo en nuestro medio. Los sistemas dinámicos, como herramienta matemática estudian en particular, el comportamiento cualitativo de un sistema de ecuaciones diferenciales. Los puntos de equilibrio, su estabilidad, y las bifurcaciones a partir de los parámetros son las claves para comprender el funcionamiento del sistema. Este trabajo tiene como objetivo encontrar y analizar algunas de las bifurcaciones más influyentes, tanto de codimensión uno como de codimensión dos y, a partir de estas, explicar la influencia de los parámetros de bifurcación en la topología del sistema. Con el fin de encontrar bifurcaciones, se propuso plantear el modelo ambiental con un ajuste de parámetros usando el teorema de Taylor de segundo orden y, posteriormente, otro ajuste mediante un cambio de variable lineal para, finalmente, realizar los cómputos de las bifurcaciones y retratos de fase mediante el software Matcont. No obstante, el análisis de estabilidad y puntos de equilibrio se propone, hasta donde se pueda, sin ayuda de ningún software, a partir del modelo con los ajustes mencionados. Después de hallar todos los resultados computacionales, se propone traducir su significado en el ámbito ambiental. Finalmente, tras los dos ajustes al modelo bioeconómico de la evolución de la pesca, la silvicultora y la población se hallaron bifurcaciones con respecto a los parámetros de tecnología invertida para la explotación de recursos (α y q), los parámetros de la cantidad de recursos disponible para el consumo (m1 y m2 ) y los parámetros del dinero invertido en el consumo humano de recursos(β1, β2). A pesar de la riqueza de bifurcaciones que presentó este modelo, solo se analizaron las bifurcaciones generadas al variar el parámetro de tecnología invertida en la pesca y en particular, otra bifurcación (Bogdanov-Takens), generada al variar los parámetros del dinero invertido en la silvicultura y la tasa de proporción de peces disponibles para el consumo. Para concluir se consideró que a través de las bifurcaciones de co dimensión uno y dos que existen umbrales que señalan hasta qué punto podemos explotar los recursos naturales, para que el sistema continúe siendo sostenible en el tiempo

Abstract: In recent decades, environmental problems have increased exponentially due to accelerated industrial development; the exploitation of natural resources for economic purposes implies the possibility that the quantity of resources is diminished and their recovery is not as fast as their consumption. Sustainable development is a term established by the Bruntland Commission to refer to an optimal bioeconomic state, in which ecological resources coexist with the human population and its socio-economic development. In other words, achieving sustainable development for society means preserving the environment without hindering the economic, industrial, technological and cultural development that has been taking place in recent years. In different areas of science and engineering, methods have been sought to save resources and, at the same time, avoid environmental disturbances, while generating energy or making objects for society. Environmental engineering is one of the most influential areas in this field, but so have biology, ecology and other natural sciences. In order to improve the understanding of the term sustainable development and identify ways of controlling the management of resources, bioeconomic models have been developed; in particular, predator-prey models have been created that visualize resources as prey and man as the most influential predator. Various modeling techniques have been implemented, such as the dynamics of systems, among others, that construct models through differential equations. However, the analysis of the model is a decisive step to draw conclusions from what is happening in our environment. Dynamic systems, as a mathematical tool, study in particular the qualitative behavior of a system of differential equations. The equilibrium points, their stability, and the bifurcations from the parameters are the keys to understanding the functioning of the system. The objective of this work is to find and analyze some of the most influential bifurcations, both codimension one and codimension two, and, from these, explain the influence of bifurcation parameters on the topology of the system. In order to find bifurcations, it was proposed the environmental model with a parameter adjustment using the second-order Taylor theorem and, subsequently, another adjustment by means of a linear variable change to, finally, perform the computations of the bifurcations and portraits phase using the software Matcont. However, the analysis of stability and equilibrium points is proposed, as far as possible, without the help of any software, based on the model with the aforementioned adjustments. After finding all the computational results, it is proposed to translate its meaning in the environmental field. Finally, after the two adjustments to the bioeconomic model of the evolution of the fishery, the forester and the population, there were bifurcations with respect to the inverted technology parameters for the exploitation of resources (α y q), the parameters of the quantity of resources available for consumption (m1 and m2) and the parameters of the money invested in the human consumption of resources (β1, β2). Despite the wealth of bifurcations that this model presented, only the bifurcations generated by varying the parameter of technology invested in fishing were analyzed, and in particular, another bifurcation (Bogdanov-Takens), generated by varying the parameters of the money invested in the forestry and the proportion of fish available for consumption. To conclude, it was considered that through the bifurcations of dimension one and two, there are thresholds that indicate the extent to which we can exploit natural resources, so that the system continues to be sustainable over time