Thermodynamics of Black Holes in maximally symmetric spacetimes in f(R) theories of gravity

Abstract

In this work exact solutions of the field equations in the metric formalism of f(R) theory are found for a spherical non-rotating and electrically charged mass distribution within the framework of the non-linear Born-Infeld theory. From these solutions the Black Hole temperature, entropy and specific heat are found and it was demonstrated that they coincide with the analogous quantities for the Reissner-Nordström Black Hole of General Relativity with cosmological constant. It is also found a hypergeometric model of cosmologically viable f(R), whose main characteristic is to generalize the well-known Starobinsky and Hu-Sawicki models. In Chapter 2 there is a review of the metric formalism of f(R) theory, the the field equations are found and since the f(R) theory of gravity can be expressed as a scalar-tensor theory with a scalar degree of freedom phi, by a conformal transformation, the action and its Gibbons-York-Hawking boundary term are written in the Einstein frame and the field equations in this frame are written. An effective potential is defined from part of the trace of the field equations in such a way that it can be calculated as an integral of a purely geometric term. This potential as well as the scalar potential are found, plotted and analyzed for some viable models of f(R) and for two other proposed new, shown viable, models. In Chapter 3, a cosmologically viable hypergeometric model in the modified gravity theory f(R) is found from the need for asintoticity towards LambdaCDM, the existence of an inflection point in the f(R) curve, and the conditions of viability given by the phase space curves (m, r), where m and r are characteristic functions of the model. To analyze the constraints associated with the viability requirements, the models were expressed in terms of a dimensionless variable, i.e. Rto x and f(R)to y(x)=x+h(x)+lambda, where h(x) represents the deviation of the model from General Relativity. Using the geometric properties imposed by the inflection point, differential equations were constructed to relate h'(x) and h''(x), and the solutions found were Starobinsky (2007) and Hu-Sawicki type models, nonetheless, it was found that these differential equations are particular cases of a hypergeometric differential equation, so that these models can be obtained from a general hypergeometric model. The parameter domains of this model were analyzed to make the model viable. Solutions of the field equations in f(R) theory of gravity are found in Chapter 4 for a spherically symmetric and static spacetime in the non-linear electrodynamic theory of Born-Infeld (BI). It is found that the models allowed under these conditions must have the parametric form f'(R)|_r=m+nr, where m and n are constants, whose values and signs have a strong impact on the solutions, as well as on the form and range of the function f(R). When n=0, f(R)=m R+m_0 and Einstein-BI solution is found. When mneq 0 and nneq0, the theory f(R) is asymptotically equivalent to General Relativity (GR), so that the solutions of Schwarzschild and f(R)-Reissner-Nordström can be written in some limits. Similarly, if n>0 and rgg1, the form of f(R) can be approximated by an expansion in series and as a particular case, when R_S=-frac{m^2}{3n}, can be found explicitly f(R)=m R+2nsqrt{R}+m_0. Finally, the solutions, scalar curvature and parametric form of the function f(r) in the non-linear regime (m=0) of the f(R) theory are found, and some models are plotted for specific values of m and n. In Chapter 5 it is used the conformal transformation between Jordan and Einstein frames in the formalism of the scalar-tensor theory, and the definitions of scalar field potentials, to determine in which cases the exact solutions shown here evade some generalized non-hair theorems for f(R) theory. Also, the Starobinsky quadratic model is linearized using Green functions. Some relevant Black Hole thermodynamic properties, namely entropy, temperature and specific heat are described and in some cases plotted, depending on the parameters m, n, q and Lambda, of the f(R) model, for the solutions found in Chapter 4. The technique used to calculate the Black Hole entropy is the Wald method and the symplectic potentials are calculated. It is found that the Black Hole entropy in this theory is no longer proportional to the square of the radius of the horizon, but that its expression changes according to the value of m and n. Finally, the results are discussed in Chapter 7. (Texto tomado de la fuente)

En este trabajo se encuentran soluciones exactas de las ecuaciones de campo en el formalismo métrico de la teoría f(R) para una distribución de masa esférica no rotante y cargada eléctricamente en el marco de la teoría no lineal de Born-Infeld. A partir de estas soluciones se encuentran la temperatura, la entropía y el calor específico del agujero negro y se demuestra que coinciden con las cantidades análogas para el agujero negro de Reissner-Nordström de la relatividad general con constante cosmológica. También se encuentra un modelo hipergeométrico de f(R) cosmológicamente viable, cuya principal característica es generalizar los conocidos modelos de Starobinsky y Hu-Sawicki. En el Capítulo 2 se hace una revisión del formalismo métrico de la teoría f(R), se encuentran las ecuaciones de campo y dado que la teoría f(R) de la gravedad puede expresarse como una teoría escalar-tensorial con un grado de libertad escalar phi, mediante una transformación conforme, se escribe la acción y su término de frontera de Gibbons-York-Hawking en el marco de Einstein y se escriben las ecuaciones de campo en este marco. Se define un potencial efectivo a partir de una parte de la traza de las ecuaciones de campo, de manera que pueda calcularse como una integral de un término puramente geométrico. Este potencial, así como el potencial escalar, se encuentran, se trazan y se analizan para algunos modelos viables de f(R) y para otros dos nuevos modelos propuestos, que se muestran viables. En el Capítulo 3, se encuentra un modelo hipergeométrico cosmológicamente viable en la teoría de la gravedad modificada f(R) a partir de la necesidad de asintoticidad hacia LambdaCDM, la existencia de un punto de inflexión en la curva de f(R), y las condiciones de viabilidad dadas por las curvas del espacio de fase (m, r), donde m y r son funciones características del modelo. Para analizar las restricciones asociadas a los requisitos de viabilidad, los modelos se expresaron en términos de una variable adimensional, es decir, R\to x y f(R)\to y(x)=x+h(x)+\lambda, donde h(x) representa la desviación del modelo respecto a la Relatividad General. Utilizando las propiedades geométricas impuestas por el punto de inflexión, se construyeron ecuaciones diferenciales para relacionar h'(x) y h''(x), y las soluciones encontradas fueron modelos del tipo Starobinsky (2007) y Hu-Sawicki, sin embargo, se encontró que estas ecuaciones diferenciales son casos particulares de una ecuación diferencial hipergeométrica, por lo que estos modelos pueden ser obtenidos a partir de un modelo hipergeométrico general. Se analizaron los dominios de los parámetros de este modelo para hacerlo viable. Las soluciones de las ecuaciones de campo en la teoría f(R) de la gravedad se encuentran en el capítulo 4 para un espaciotiempo esféricamente simétrico y estático en la teoría electrodinámica no lineal de Born-Infeld (BI). Se encuentra que los modelos permitidos bajo estas condiciones deben tener la forma paramétrica f'(R)|_r=m+nr, donde m y n son constantes, cuyos valores y signos tienen un fuerte impacto en las soluciones, así como en la forma y rango de la función f(R). Cuando n=0, f(R)=m R+m_0 y se encuentra la solución de Einstein-BI. Cuando m\neq 0 y n\neq 0, la teoría f(R) es asintóticamente equivalente a la Relatividad General (RG), por lo que las soluciones de Schwarzschild y f(R)-Reissner-Nordström pueden escribirse en algunos límites. De forma similar, si n>0 y r\gg1, la forma de f(R) puede aproximarse mediante una expansión en serie y, como caso particular, cuando R_S=-\frac{m^2}{3n}, puede encontrarse explícitamente f(R)=m R+2n\sqrt{R}+m_0. Finalmente, se encuentran las soluciones, la curvatura escalar y la forma paramétrica de la función f(r) en el régimen no lineal (m=0) de la teoría f(R), y se grafican algunos modelos para valores específicos de m y n. En el Capítulo 5 se utiliza la transformación conforme entre los marcos de Jordan y Einstein en el formalismo de la teoría escalar-tensorial, y las definiciones de los potenciales de campo escalar, para determinar en qué casos las soluciones exactas mostradas aquí evaden algunos teoremas generalizados de no-cabello para la teoría f(R). Además, el modelo cuadrático de Starobinsky se linealiza utilizando funciones de Green. Se describen algunas propiedades termodinámicas relevantes de los Agujeros Negros, a saber, la entropía, la temperatura y el calor específico, y en algunos casos se representan gráficamente, en función de los parámetros m, n, q y Lambda, del modelo f(R), para las soluciones encontradas en el capítulo 4. La técnica utilizada para calcular la entropía del Agujero Negro es el método de Wald y se calculan los potenciales simplécticos. Se encuentra que la entropía del Agujero Negro en esta teoría ya no es proporcional al cuadrado del radio del horizonte, sino que su expresión cambia según el valor de m y n. Finalmente, los resultados se discuten en el capítulo 7. (Texto tomado de la fuente)