Algebro-geometric characterizations of commuting differential operators in semi-graded rings

Abstract

In this thesis, we study algebro-geometric characterizations of commuting differential operators in families of semi-graded rings. First, we present some ring-theoretical notions of semi-graded rings that are necessary throughout the thesis. We include a non-exhaustive list of noncommutative rings that are particular examples of these rings. Second, to motivate the study of commuting differential operators beloging to noncommutative algebras, and hence to develop a possible Burchnall-Chaundy (BC) theory for them, we review algebraic and matrix results appearing in the literature on the theory of these operators in some families of semi-graded rings. Third, we introduce the notion of pseudo-multidegree function as a generalization of pseudo-degree function, and hence we establish a criterion to determine whether the centralizer of an element has finite dimension over a noncommutative ring having PBW basis. In this way, we formulate a BC theorem for rings having pseudo-multidegree functions. We illustrate our results with families of algebras appearing in ring theory and noncommutative geometry. Fourth, we develop a first approach to the BC theory for quadratic algebras having PBW bases defined by Golovashkin and Maksimov. We prove combinatorial properties on products of elements in these algebras, and then consider the notions of Sylvester matrix and resultant for quadratic algebras with the purpose of exploring common right factors. Then, by using the concept of determinant polynomial, we formulate the version of BC theory for these algebras. We present illustrative examples of the assertions about these algebras. Finally, we establish some bridging ideas with the aim of extending results on centralizers for graded rings to the setting of semi-graded rings.

En esta tesis, estudiamos caracterizaciones algebro-geométricas de operadores diferenciales conmutativos en familias de anillos semi-graduados. Primero, presentamos algunas nociones de la teoría de anillos de anillos semi-graduados que son necesarias a lo largo de la tesis. Incluimos una lista no exhaustiva de anillos no conmutativos que son ejemplos particulares de estos anillos. Segundo, para motivar el estudio de operadores diferenciales conmutativos pertenecientes a álgebras no conmutativas, y así desarrollar una posible teoría Burchnall-Chaundy (BC) para ellos, consideramos resultados algebraicos y matriciales presentes en la literatura sobre la teoría de estos operadores en algunas familias de anillos semi-graduados. Tercero, introducimos la noción de función pseudo-multigrado como una generalización de función pseudo-grado, y así establecemos un criterio para determinar si el centralizador de un elemento tiene dimensión finita sobre un anillo no conmutativo con base PBW. De esta manera, formulamos un teorema BC para anillos que tienen funciones pseudo-multigrado. Ilustramos nuestros resultados con familias de álgebras presentes en la teoría de anillos y la geometría no conmutativa. Cuarto, desarrollamos un primer acercamiento a la teoría BC para las álgebras cuadráticas con base PBW definidas por Golovashkin y Maksimov. Demostramos propiedades combinatoriales sobre productos de elementos en estas álgebras, y luego consideramos las nociones de matriz de Sylvester y resultante para álgebras cuadráticas con el fin de explorar factores comunes a derecha. Después, utilizando el concepto de determinante polinomial, formulamos la versión de la teoría BC para estas álgebras. Presentamos ejemplos ilustrativos de las afirmaciones sobre estas álgebras. Finalmente, formulamos algunas ideas con el propósito de extender resultados sobre centralizadores para anillos graduados al contexto de los anillos semi-graduados. (Texto tomado de la fuente)