The ADER-DG Numerical Method for hydrodynamics

Abstract

This thesis explores the ADER-DG (Arbitrary DERivatives – Discontinuous Galerkin) method as a high-order numerical scheme for solving hydrodynamic problems involving shock-wave interactions. Beginning with the theoretical background of hyperbolic conservation laws and the Riemann problem, the study develops the ADER methodology through both the classical Cauchy–Kowalewski procedure and its reformulation via the Discontinuous Galerkin predictor. A numerical solver was implemented within the ExaHyPE simulation framework, adapted to handle challenging benchmark tests such as the Sod shock tube, the Shu–Osher problem, and the Woodward–Colella blast wave, as well as multidimensional setups including vortex sheet dynamics and shock–interface interactions. The results demonstrate the capacity of ADER-DG to accurately capture discontinuities, rarefactions, and fine-scale structures, while maintaining stability and efficiency. Special emphasis is placed on the role of WENO reconstructions and subcell limiting for robustness. Beyond its technical contributions, the thesis highlights the relevance of ADER-DG to astrophysical fluid dynamics, where processes like supernova remnants and jet instabilities share analogous physical mechanisms. The work concludes by discussing limitations, future perspectives in higher dimensions and relativistic flows, and the potential use of ADER-DG as a generator of high-quality datasets for physics-informed machine learning.

Esta tesis explora el método ADER-DG (Arbitrary DERivatives – Discontinuous Galerkin) como un esquema numérico de alto orden para la solución de problemas hidrodinámicos que involucran interacciones de ondas de choque. Partiendo del marco teórico de las leyes de conservación hiperbólicas y del problema de Riemann, se desarrolla la metodología ADER tanto a través del procedimiento clásico de Cauchy–Kowalewski como de su reformulación mediante el predictor de Galerkin discontinuo. Se implementó un solucionador numérico en el marco de simulación ExaHyPE, adaptado para enfrentar pruebas de referencia exigentes como el tubo de choque de Sod, el problema de Shu–Osher y la onda explosiva de Woodward–Colella, así como configuraciones multidimensionales que incluyen la dinámica de láminas de vorticidad y la interacción choque–interfaz. Los resultados demuestran la capacidad de ADER-DG para capturar con precisión discontinuidades, rarefacciones y estructuras a pequeña escala, manteniendo estabilidad y eficiencia. Se resalta el papel de las reconstrucciones WENO y de los limitadores en subceldas para lograr robustez. Más allá de las contribuciones técnicas, la tesis enfatiza la relevancia de ADER-DG en la dinámica de fluidos astrofísica, donde procesos como los remanentes de supernova y las inestabilidades en chorros comparten mecanismos físicos análogos. El trabajo concluye con una discusión sobre limitaciones, perspectivas futuras en mayores dimensiones y flujos relativistas, así como el potencial de ADER-DG como generador de conjuntos de datos de alta calidad para enfoques de machine learning guiados por la física. (Texto tomado de la fuente).