Algebraic and analytic properties associated with spectral transformations of matrix orthogonal polynomials

Abstract

El objetivo principal de este trabajo es estudiar propiedades algebraicas y analíticas asociadas a transformaciones espectrales de polinomios ortogonales matriciales con respecto a una medida matricial con soporte ya sea sobre la circunferencia unidad o sobre la recta real. En ambos casos, se estudian algunas propiedades relacionadas con una perturbación de una sucesión de momentos matriciales. Extendemos al caso matricial algunas propiedades algebraicas y analíticas de polinomios ortogonales matriciales sobre la circunferencia unidad, que son conocidas en el caso escalar, asociadas con las transformaciones matriciales de Uvarov y Christoffel de una medida matricial Hermitiana con soporte sobre la circunferencia unidad. También estudiamos propiedades de matrices Hessenberg y CMV por bloques, asociadas con sucesiones de polinomios ortonormales matriciales, bajo ciertas transformaciones de la medida matricial correspondiente. Además, se extienden al caso matricial algunas propiedades de la transformación Szego y se utilizan estas propiedades para analizar su efecto sobre algunas transformaciones espectrales, enfocándose en la relación para las funciones a valor matricial de Stieltjes y Carathéodory (Texto tomado de la fuente).

The main purpose of this work is the study of algebraic and analytic properties associated with spectral transformations of sequences of matrix orthogonal polynomials with respect to a matrix measure supported either on the unit circle or on the real line. In both frameworks, we study some properties related with a perturbation of a sequence of matrix moments. We extend to the matrix case some algebraic and analytic properties of matrix orthogonal polynomials on the unit circle, that are known in the scalar case, associated with the Uvarov and Christoffel matrix transformations of a Hermitian matrix measure supported on the unit circle. We also study properties of block Hessenberg and block CMV matrices associated with sequences of matrix orthonormal polynomials, under certain transformations of the corresponding matrix measure. In addition, we extend to the matrix case some properties of the Szeg˝o transformation and then use these properties to analyze its effect on some spectral transformations, focusing on the relationship between the matrix-valued Stieltjes and Carath´eodory functions. Keywords: Matrix measure, spectral transformation, matrix orthogonal polynomials on the real line, matrix orthogonal polynomials on the unit circle, matrix moments, Szeg˝o matrix transformation, Christoffel and Uvarov matrix transformations, relative asymptotics, block Hessenberg matrices, block CMV matrices, matrix-valued Stieltjes function, matrix-valued Carath´eodory function.