Un estudio sobre tiempos de primer arribo y estrategias óptimas de inversión aplicados al esquema de retiro programado

Abstract

Resumen: Actualmente la modalidad de pensión en retiro programado no es clara desde el punto de vista de una formulación matemático-actuarial, es decir, analistas del problema pensional en el país o inclusive las personas que adquieren este contrato no conocen los modelos por parte de la administradora del fondo de pensión que den cuenta de la evolución de los saldos de las cuentas individuales de pensión. Lo anterior impide ver de manera explícita las características, alcances y limitaciones que esta modalidad de retiro posee. Problemas como éste han causado inconvenientes de tipo legal de tal magnitud que han llegado a acciones de tutela ante la Corte Constitucional. En la primera parte de este trabajo (capítulos 2 y 3) se propone un modelo para la evolución del saldo de la cuenta individual de una pensión en modalidad de retiro programado mediante el empleo, inicialmente, de una ecuación diferencial estocástica lineal donde el proceso que rige la evolución del estado del sistema es un proceso Wiener estándar, Wt. Luego de esto (capítulo 4) se propone una generalización del modelo anterior considerando el planteamiento de la dinámica del saldo mediante otra ecuación diferencial estocástica lineal, donde el proceso que domina la evolución del sistema es una semimartingala, en particular una cadena de Markov homogénea en tiempo continuo, _t. Para ambos casos se presenta la solución Explicita del saldo, ésta resulta ser una generalización del método de variación de parámetros de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Para el caso Wiener se analiza, mediante experimentos de simulación, la distribución del tiempo de primer arribo, T0, del saldo de la cuenta a una barrera móvil dada por el valor de una renta vitalicia por un salario mínimo legal vigente, empleando como ley de mortalidad para el cálculo de esta última la ley de Gompertz. Es de interés el estudio de T0, el cual no cuenta con una distribución de probabilidad conocida en el contexto de la investigación en este estudio, debido a que la ley colombiana (Ley 100 de 1993) define que los saldos de una pensión en esta modalidad deben ser suficientes para que la persona en uso de retiro disfrute de una pensión por encima de la mínima establecida de un salario mínimo legal vigente. Se pretende entonces verificar con este modelo si el evento de ruina, definido éste como que el saldo de la cuenta llegue al nivel del valor de una renta vitalicia por un salario mínimo, tiene una probabilidad positiva de ocurrencia y a qué edad ocurriría. En la segunda parte (capítulo 5) se presenta una propuesta de retiro programado inspirada en la metodología de portafolio balanceado, es decir, se define el retiro programado en términos de un portafolio indexado a inversiones en instrumentos de renta fija, que garantice una tasa constante de rentabilidad anual r, y a una inversión sujeta a la volatilidad del mercado, es decir, una cuyo valor de mercado es definido a través de una ecuación diferencial estocástica lineal de Ito. Se plantea el modelo para el portafolio en términos de un problema de control óptimo estocástico en el que el proceso de control, wt, está relacionado con el porcentaje de inversión del saldo en un tiempo t en ambos tipos de mecanismos. Considerando inicialmente una definición ad hoc de wt se analiza la distribución de T0. Con esta propuesta se logra ver una mejora de la distribución de esta variable, en términos que la misma sufre un desplazamiento hacia la derecha. En los escenarios de simulación se obtienen tiempos medios mayores y desviaciones estándar menores. Por último, considerando funciones de pérdida del tipo exponencial y potencial, se define en forma analítica el proceso wt a través de una condición de primer orden en la ecuación diferencial parcial de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)