On the theory of polynomial information inequalities

Abstract

En este trabajo estudiamos la definibilidad de las regiones cuasi entrópicas por medio de conjuntos finitos de desigualdades polinomiales. Los conjuntos que son definidos de esta manera son llamados semialgebraicos. Existe una fuerte conexión entre los conjuntos semialgebraicos y la Teoría de Modelos, esta conexión se presenta a través del llamado teorema de Tarski Seidenberg. Nosotros exploramos esta conexión, por ejemplo, probamos que el conjunto de vectores entrópicos de orden mayor a dos no es semialgebraico, y presentamos resultados que sugieren que las regiones cuasi entrópicas de orden mayor a tres no son semialgebraicas. Primero presentamos una prueba alternativa del teorema de Matus, el cual afirma que las regiones cuasi entrópicas no son poliédricas, después abordamos el problema de encontrar nuevas sucesiones de desigualdades de la información y finalmente mostramos que la semialgebricidad de las regiones cuasi entrópicas depende de la condicionalidad esencial de cierta clase de desigualdades condicionales de la información. Exploramos además algunas consecuencias algorítmicas que podría tener el hecho de que las regiones cuasi entrópicas fuesen semialgebraicas, específicamente estudiamos algunas consecuencias en la Teoría de Repartición de Secretos y su relación con la Teoría de Matroides (Texto tomado de la fuente).

We study the definability of the almost entropic regions by finite sets of polynomial inequalities. Sets defined in this way are called semialgebraic. There is a strong connection between semialgebraic sets and Model Theory, this connection is presented through the so-called Tarski-Seidenberg Theorem. We explore this connection and, for instance, we prove that the set of entropic vectors of order greater than two is not semialgebraic. Moreover, we present strong evidence suggesting that the almost entropic regions of order greater than three are not semialgebraic. First we present an alternative proof of Mat´uˇs theorem, which states that the almost entropic regions are not polyhedral, then we deal with the problem of finding new sequences of information inequalities and finally we show that the semialgebraicity of the almost entropic regions depends on the essential conditionality of certain class of conditional information inequalities. We also explore some algorithmic consequences of the almost entropic regions being semialgebraic, specifically we study some of the consequences of this fact in Secret Sharing and its relation with Matroid Theory.