Métodos numéricos eficientes para ecuaciones diferenciales elípticas en medios porosos

Abstract

Modeling flow and transport in porous media with uncertain properties is of critical importance in many scientific and engineering applications, including groundwater hydrology, petroleum reservoir simulation, and environmental risk assessment. The spatial heterogeneity of properties such as permeability is often modeled through stochastic processes defined by covariance functions. These formulations require the use of efficient numerical methods to simulate and quantify uncertainty. A brief review of modeling strategies and numerical approximations in this context is included in this thesis.

The random coefficient field is represented using Karhunen Loève (KL) expansions and related spectral techniques, allowing for finite-dimensional parameterizations of infinite-dimensional random fields. This facilitates the application of both sampling-based and deterministic approximation methods in stochastic settings.

This thesis investigates numerical methods based on the combination of finite element discretizations with random sampling techniques, including Monte Carlo and polynomial chaos expansions. The spatial discretization uses standard conforming and non-conforming methods, while uncertainty is treated using random inputs derived from the KL expansion.

The main contributions of this thesis are as follows. First, the work focuses on simple design and efficient iterative solvers based on null space strategies and operator splitting that weakly depend on the coefficient realization dividing the computation into two stages, and offline stage that does not depend on the coefficient and an online stage that requires few operations per iterations. Second, a modified Monte Carlo method is developed and analyzed, in which the Galerkin matrices are approximated through sample-based numerical integration. This approach extends the standard Monte Carlo method and includes the study of cases where it provides more accurate and computationally efficient approximations of the quantities of interest.

Numerical experiments are presented to illustrate the performance of the proposed methods. Initial theoretical estimates are provided for the approximation error, and their behavior is evaluated numerically across a range of model problems and solver configurations. Finally, this thesis concludes with a summary of the key findings from each chapter, and outlines several directions for future research, including the integration of the proposed solver strategies into multilevel Monte Carlo framework and adaptive sampling schemes. (Tomado de la fuente)

Modelar el flujo y el transporte en medios porosos con propiedades inciertas es de importancia crítica en muchas aplicaciones científicas de ingeniería, incluyendo la hidrología subterránea, la simulación de yacimientos petroleros y la evaluación del riesgo ambiental. La heterogeneidad espacial de propiedades como la permeabilidad a menudo se modela mediante procesos estocásticos definidos por funciones de covarianza. Estas formulaciones requieren el uso de métodos numéricos eficientes para simular y cuantificar la incertidumbre. En esta tesis se incluye una breve revisión de estrategias de modelado y aproximaciones numéricas en este contexto.

El campo de coeficientes aleatorios se representa utilizando expansiones de Karhunen Loève (KL) y técnicas espectrales relacionadas, lo que permite parametrizaciones de dimensión finita de campos aleatorios de dimensión infinita. Esto facilita la aplicación de métodos de aproximación tanto basados en muestreo como deterministas en entornos estocásticos.

Esta tesis investiga métodos numéricos basados en la combinación de discretizaciones por elementos finitos con técnicas de muestreo aleatorio, incluyendo el método de Monte Carlo y las expansiones en caos polinomial. La discretización espacial utiliza métodos conformes y no conformes estándar, mientras que la incertidumbre se trata utilizando entradas aleatorias derivadas de la expansión KL.

Las principales contribuciones de esta tesis son las siguientes. Primero, el trabajo se enfoca en un diseño simple de precondicionadores iterativos eficientes basados en estrategias de espacio nulo y descomposición de operadores que dependen débilmente de la realización del coeficiente aleatorio de la ecuación, dividiendo el cálculo en dos etapas: una etapa offline que no depende del coeficiente y una etapa online que requiere pocas operaciones por iteración (realización de las variables aleatorias). Segundo, se desarrolla y analiza un método de Monte Carlo modificado en el cual las matrices de Galerkin se aproximan mediante integración numérica basada en muestras. Este enfoque extiende el método estándar de Monte Carlo e incluye el estudio de casos donde proporciona aproximaciones más precisas y computacionalmente eficientes de las cantidades de interés.

Se presentan experimentos numéricos para ilustrar el rendimiento de los métodos propuestos. Se proporcionan estimaciones teóricas iniciales para el error de aproximación y se evalúa su comportamiento numéricamente en una variedad de problemas modelo y configuraciones de solucionadores. Finalmente, esta tesis concluye con un resumen de los hallazgos clave de cada capítulo y esboza varias direcciones para investigaciones futuras, incluyendo la integración de las estrategias de solucionadores propuestas en el marco de Monte Carlo multinivel y esquemas de muestreo adaptativo.