On Sectional-Hyperbolic Sets

Abstract

Sea M una variedad compacta Rimeniana de dimensión mayor o igual que tres. Dado X un campo vectorial C1 , transversal hacia el interior en la frontera (si no es vacı́a), llamamos Xt el flujo inducido sobre M .

Un conjunto alfa lı́mite de un punto p en M , es el conjunto formado por aquellos puntos donde nace su órbita y su conjunto omega lı́mite está formado por aquellos puntos donde muere su órbita. En cualquier caso, decimos que estos son conjuntos lı́mite. Un subconjunto Λ de M es invariante si Xt (Λ) = Λ para todo t ∈ R. Nosotros decimos que un subconjunto compacto invariante Λ de M , es transitivo si es el conjunto omega limite de un punto en él; es atracting si hay una vecindad U de Λ tal que X t (U ) ⊆ U para todo t ≥ 0 y Λ es la intersección de las órbitas futuras de U; es un atractor si Λ es transitivo y atracting; y es Lyapunov estable si para toda vecindad U de Λ hay otra vecindad V de Λ de modo que la órbita futura de cualquier punto de V permanece en U .

Un conjunto compacto invariante, es seccional-hiperbólico si exhibe en su fibrado tangente, una descomposición continua y dominada que consta de dos subfibrados, uno de los cuales es un contractor (que llamamos estable), y el otro en el que el área de paralelogramos crece exponencialmente (que llamamos central). Cuando la dimensión del subfibrado central es dos, decimos que el conjunto seccional-hiperbólico es codimensión uno. Una singularidad en un conjunto seccional-hiperbólico es Lorenz-like si esta es acumula por órbitas futuras de puntos en el conjunto, y es de tipo frontera, si estas órbitas acumulan la singularidad solo por uno de las componentes conexas generadas por su variedad estable.

Los principales resultados de este trabajo son: Todo conjunto seccional-hiperbólico Lyapunov estable codimensión uno satisface la propiedad de conexión. Todo conjunto limite seccional-hiperbólico Lyapunov estable codimensión uno con una única singularidad Lorenz-like la cual es de tipo frontera es un conjunto atracting. Todo punto de un conjunto seccional-hiperbólico codimensión uno atractor con singularidades, puede ser aproximado por puntos en el conjunto cuyo omega limite es una singularidad. Todo punto de un conjunto seccional-hiperbólico codimensión uno atractor con una una única singularidad Lorenz-like la cual es de tipo frontera puede ser aproximado por puntos en el conjunto cuyo omega limite es una singularidad. Todo conjunto seccional-hiperbólico codimensión uno atractor con una una única singularidad Lorenz-like la cual es de tipo frontera, no satisface la propiedad de sombreamiento.

Let M be a Riemannian compact manifold M of dimension greater or equal than three. Given X a C 1 vector field, inwardly transverse to the boundary (if is nonempty), we call X t its induced flow over M .

The alpha limit set of a point p in M , is the set formed by those points where the orbit born and its omega limit set is formed by those points where the orbit dies. In any case, we say that these, are limit sets. A subset Λ of M is invariant if X t (x)(Λ) = Λ for all t ∈ R. We say that a subset compact invariant Λ of M , is transitive if is the omega limit set of a point in it; is attracting if there is a neighborhood U of Λ such that X t (U ) ⊆ U for all t ≥ 0 and Λ is the intersection of the future orbits of U; it is an attractor if Λ is a transitive and attracting; and it is Lyapunov stable if for all neighborhood U ofΛ there is other neighborhood V of Λ such that the future orbit of any point of V remain in U .

An invariant compact set, is sectional-hyperbolic if it exhibits on its tangent bundle, a continuous and dominated splitting consisting of two subbundles, one of which is a contractor (that we call stable), and the other in which the area of parallelograms grows exponentially (that we call central). When, the dimension of the central subbundle is two, we say that the sectional-hyperbolic set is codimension one. A singularity in a sectional-hyperbolic set is Lorenz-like if this, is accumulated by the future orbits the points of the set, and it is of boundary type, if these orbits accumulated the singularity only by one the connected components generated by its stable manifold.

The main results of this work are: Every codimension one Lypunov stable sectional-hyperbolic set satisfies the connection property. Every codimension one Lyapunov stable sectional-hyperbolic limit set with a unique Lorenz-like singularity which is of boundary type, is an attracting set. Every point of a codimension one sectional-hyperbolic attractor set with singularities can be approximated by points for which the omega-limit set is a singularity. Every point of a codimension one sectional-hyperbolic attractor set with a unique singularity Lorenz-like which is of boundary type, can be approximated by points of the set, for which the omega-limit set is a singularity. Every codimension one sectional-hyperbolic attractor set, with a unique Lorenz-like singularity which is of boundary type, does not satisfy the shadowing property.