Development of a Lattice-Boltzmann model in curvilinear coordinates for the acoustic simulation of the Cochlea

Abstract

Lattice-Boltzmann models have been very powerful tools to simulate fluid dynamics, difusion processes, mechanical waves and electrodynamics. Nevertheless, their applicability has been restricted due to the fact that most of them are build on Cartesian coordinates, which hinders them to take advantage of system’s symmetries to reduce the dimensions of the computational domain or to naturally addressing complex systems with curved boundaries, from which the Cochlea, the main auditory organ in mammals, is a paradigmatic example. This work designs and implements a novel lattice-Boltzmann model for the three-dimensional simulation of acoustic waves in general curvilinear coordinates. The method keeps in the computer the standard structure of a Cartesian system with the same velocity vectors in all cells, but it rescales the macroscopic fields and adds forcing terms to reproduce in the continuous limit the wave equation on general coordinates. The resulting second order method perfectly finds the vibrational normal modes of a Cylinder, a Trumpet and a Torus, keeps the isotropic wave propagation in real space and can be applied to any coordinate system. With this method in hand the simulation of the Cochlea was addressed. The Cochlea was parametrized as a tampered coiled tube with a cardioid as cross section and, it was scaled to have the real dimensions of a human Cochlea. As result, we found that the geometry of the Cochlea itself is enough to reproduce the effect of spatial frequency segregation: At high frequencies the net pressure on the Basilar membrane oscillates with larger amplitude close to the windows, and lower frequencies shift the location of maximal amplitude to the apex. The lower the frequency is the closer to the apex that maximum is located. Those results illustrate the high performance, flexibility and reliability of the proposed method, which constitutes a valuable contribution to the development of more powerful lattice-Boltzmann schemes.

Los modelos de lattice-Boltzmann han sido una herramienta muy poderosa para simular dinámica de fluidos, difusión, ondas mecánicas y electrodinámica. Sin embargo, su aplicabilidad ha estado restringida debido a que la mayoría de ellos han sido construidos en coordenadas cartesianas, lo que les impide aprovechar las simetrías del sistema para reducir las dimensiones del dominio computacional o considerar de manera natural geometrías complejas con fronteras curvas, de las cuales la Cóclea, el órgano auditivo principal en los mamíferos, es un ejemplo paradigmático. Este trabajo diseña e implementa un modelo de lattice-Boltzmann novedoso para la simulación de ondas acústicas en coordenadas curvilíneas generales. El método mantiene en el computador la estructura estándar de un sistema cartesiano con los mismos vectores velocidad en todas las celdas, pero reescala los campos macroscópicos y añade forzamientos para reproducir en el límite continuo la ecuación de ondas en coordenadas generalizadas. El modelo de segundo orden que resulta calcula perfectamente los modos normales de vibración de un cilindro, una trompeta y un toro, mantiene en el espacio real la isotropía en la propagación de las ondas y puede ser aplicado a cualquier sistema de coordenadas. Con este método en mano se realizó la simulación de la Cóclea. Esta ´ fue parametrizada como un tubo de sección transversal variable en forma de cardioide que se enrolla en espiral, y fue ajustada para tener las dimensiones reales de una Cóclea humana. Como resultado, se encontró que la geometría de la Cóclea es suficiente para reproducir el efecto de separación espacial de las frecuencias. A altas frecuencias, la presión neta sobre la membrana Basilar oscila con mayor amplitud cerca de las ventanas, y frecuencias más bajas desplazan la ubicación de la amplitud máxima hacia el ápex. Entre más baja sea la frecuencia, más cerca del ápex se ubica este máximo de amplitud. Estos resultados ilustran el alto desempeño, flexibilidad y confiabilidad del método propuesto, que constituye una valiosa contribución al desarrollo de esquemas de lattice-Boltzmann más poderosos.