Contribution to the computation of regions of attraction of nonlinear systems based on the extended dynamic mode decomposition - Application to the anaerobic digestion

Abstract

El tema principal de la tesis es la identificación basada en datos de la región de atracción (ROA por sus siglas en ingles) de puntos de equilibrio asintóticamente estables. Aunque esta es la principal contribución computacional, la mayoría del trabajo de la tesis constituye en satisfacer las condiciones subyacentes para lograr aproximar la ROA\@. Para obtener una aproximación precisa basada en datos del ROA en sistemas con múltiples puntos fijos o de equilibrio es necesario completar apropiadamente una serie de pasos partiendo de algunas trayectorias del sistema, i.e., asumiendo que no hay ningún acceso al modelo de ecuaciones diferenciales. La condición principal es una aproximación precisa del operador de Koopman ya que proporciona un grupo de eigenfunciones donde una composición particular de las mismas proporciona otra eingenfunción no trivial con eigenvalor asociado unitario. La principal propiedad de esta eingenfunción es que proporciona el ``manifold'' estable de los puntos de silla en el perímetro de la ROA\@. Por esta razón, para todo este procedimiento de trabajo, también es necesario tener una aproximación de la ubicación y estabilidad de los puntos fijos del sistema, recordando que la única entrada al algoritmo es un conjunto de trayectorias del sistema. Por consiguiente, el algoritmo debe ser una aproximación apropiada de las dinámicas del sistema y ser capaz de proporcionar una ecuación de diferencia que pueda proporcionar la ubicación y estabilidad de puntos fijos basándose en el análisis tradicional de sistemas no lineales. El algoritmo que tiene el potencial de alcanzar estos requisitos es el ``extended dynamics mode decomposition'' (EDMD), en donde la mayor parte del trabajo de esta tesis se enfoca en transformar el potencial que tiene este algoritmo en una realidad. En su mayor parte, el enfoque del desarrollo es sobre la estabilidad numérica del algoritmo, reduciendo el esfuerzo computacional y pasos necesarios para llevar a cabo la aproximación. Técnicos como la reducción de los polinomios ortogonales bas\'andose en las casi normas p-q y la eliminaci\'on de elementos polinomiales segur su error, aseguran que bases mas pequeños realicen las aproximaciones garantizando la existencia de soluciones debido a la propiedad de ortogonalidad. Mejoras como la recuperaron del estado a troves de la función inversa de los polinomios de una sola variable reducen el numero necesario de inversiones de matrices. Finalmente, las expansiones a priori del estado con funciones trigonométricas arbitrarias o cualquier otro tipo de funciones elementales, expanden los tipos posibles de sistemas que el algoritmo puede manejar. Como consecuencia de estas mejoras, la tesis logra los objetivos originales de analizar sistemas y controlar conjuntos de sistemas interconectados en un contexto basado en datos. Finalmente, la aplicación principal de la tesis es el análisis de la ROA en el proceso de digestión anaerobia, donde el análisis del fenómeno de multi-estabilidad que garantiza la operación correcta del reactor es de suma importancia.

Le sujet principal de cette thèse de doctorat est la détermination de la région d’attraction des points d’équilibre asymptotiquement stables d’un système dynamique non linéaire. Cette détermination est réalisée numériquement sans avoir recours à la connaissance explicite d’un modèle mathématique du système, mais sur base d’un ensemble de trajectoires de celui-ci. Ces trajectoires peuvent être soit collectées expérimentalement au départ du système physique, soit obtenues par simulation numérique d’un modèle de forme arbitraire qui serait déjà disponible mais dont la structure ne doit pas être connue. A cette fin, le système dynamique non linéaire est représenté par un opérateur de Koopman. Cet opérateur est linéaire mais de dimension infinie et en pratique il est nécessaire de procéder à une approximation en dimension finie. Celle-ci est fournie par la méthode ``extended dynamic mode decomposition'' (EDMD), qui permet de construire une matrice de Koopman et de calculer les fonctions propres et les valeurs propres associées à celle-ci. En particulier, les fonctions propres associées à la valeur propre unitaire apparaissent comme étant particulièrement utiles. Ces fonctions propres permettent en effet de déterminer les « manifolds » stables des points selle qui se trouvent à la frontière de la région d’attraction. Outre cette détermination des points d’équilibre et de leur région d’attraction, ce travaille de thèse s’intéresse aux aspects numériques de la méthode EDMD, notamment le choix de bases polynomiales performantes et la réduction de l’ordre de l’approximation en utilisant des techniques telles que les quasi-normes p-q. Le choix des bases polynomiales est aussi important pour la représentation des entrées de commande des systèmes ou de leur couplages, dans le contexte de l’interconnexion de plusieurs systèmes dynamiques. Les dernières considérations théoriques de ce travail concernent donc les systèmes avec des entrées de commande et la possibilité de développer une commande prédictive en relation avec la représentation de Koopman. Enfin ce travail contient plusieurs illustrations dont une application à la détermination des points d’équilibre et des régions d’attraction du processus de digestion anaérobie, ainsi qu’un pendule inversé approximé par la méthode EDMD utilisant des fonctions de base trigonométriques, ainsi que des oscillateurs de Duffing couplés.

The main topic of the thesis is the data-driven identification of the region of attraction (ROA) of asymptotically stable equilibrium points. Although this is the main computational contribution, satisfying the underlying conditions to make this possible constitutes most of the work of the thesis. To achieve an accurate data-driven approximation of the ROA in systems with multiple fixed or equilibrium points it is necessary to properly complete a series of steps parting from some trajectories of the system, i.e., assuming there is no access to the differential or difference model equation. The main condition is an accurate approximation of the Koopman operator because it provides a set of eigenfunctions where a particular composition of them gives another non-trivial eigenfunction with an associated eigenvalue that is unitary. The main property of this eigenfunction is that it gives the stable manifold of saddle points in the boundary of the ROA, where this stable manifold is in fact, the actual boundary of the ROA\@. Therefore, for this whole procedure to work, it also necessary to have an approximation of the location and stability of the fixed points of the system, recalling that the only input to the algorithm is a set of trajectories of the system. Consequently, the algorithm must be an appropriate approximation of the dynamics of the system and be able to provide a difference equation able to give the location and stability of fixed points upon further traditional non-linear system analysis. The algorithm that has the potential to achieve these requisites is the extended dynamics mode decomposition (EDMD) algorithm, where most of the work of this thesis focuses in transforming the potential into actual. For the most part, the development focus is on the numerical stability of the algorithm, reducing the computational effort and necessary steps to perform the approximation. Techniques such as the p-q-quasi norm reduction of orthogonal polynomials and polynomial element elimination according to its error, ensures that smaller bases perform the approximations while guaranteeing the existence of solutions because of the orthogonality property. Improvements such as the recovery of the state via the inverse of univariate order-one polynomials reduce the number of necessary matrix inversions. Finally, a priori expansions of the state with arbitrary trigonometric functions or any other kind of elemental functions, expand the possible types of systems that the algorithm can handle. As a consequence of these improvements, the thesis achieves the original objectives of analyzing systems and controlling sets of interconnected systems in a data-driven context. Finally, the main application of the thesis is the analysis of the ROA to the anaerobic digestion process, where the analysis of multi-stability phenomena that guarantees the proper operation of the reactor is of paramount importance. (Text taken from source)