On the cluster complex and theta functions for cluster Poisson varieties

Abstract

In this thesis, we establish an explicit description of the cluster complex, denoted as ∆^+_s(X), associated to a skew-symmetrizable cluster Poisson variety X and a seed s. Our approach involves a detailed description of the cones of ∆^+_s(X) and their facets using c-vectors. Specifically, each c-matrix determines a polyhedral cone of ∆^+_s(X), and its columns (c-vectors) determine the equations of the supporting hyperplanes of the respective cone. Additionally, we can describe the dimension of these cones through the implicit equalities of the system of inequalities derived from the associated c-matrix. Furthermore, we give formulas for the theta functions parametrized by the integral points of ∆^+s(X) using F -polynomials. In the special case where X is skew-symmetric and the quiver Q associated to s is acyclic, we describe the normal vectors of the supporting hyperplanes of the cones of ∆^+_s(X) using g-vectors of (non-necessarily rigid) objects in Kb(proj kQ). We use this to provide classes of examples where the ray generators of the maximal cones of ∆^+_s(X) can be expressed in terms of c-vectors. Simultaneously, we investigate a description of perfect matchings of snake graphs using routes (certain families of non-intersecting lattice paths) in connected acyclic-directed graphs. With this description, we define the poset of k-routes and use the well-known relation between perfect matchings and F-polynomials to give an alternative approach to describe F-polynomials for surface type cluster algebras, both recursively and non-recursively, using k-routes. Furthermore, we identify some open problems and propose strategies to address them in future research projects, ensuring the continuity and expansion of this work.

En esta tesis, establecemos una descripción explícita del complejo de conglomerado, denotado como ∆^+_s(X), para una variedad de conglomerado de Poisson antisimetrizable X y una semilla s. Nuestro enfoque proporciona una descripción detallada de los conos de ∆^+_s(X) y sus facetas usando c-vectores. Específicamente, cada c-matriz determina un cono de ∆^+_s(X), donde sus columnas (c-vectores) determinan las ecuaciones de los hiperplanos de soporte del cono respectivo. Adicionalmente, describimos la dimensión de estos conos a través de las igualdades implícitas del sistema de desigualdades derivado de la c-matriz asociada. Además, proporcionamos fórmulas para las funciones theta parametrizadas por los puntos enteros de ∆^+_s(X ) usando F-polinomios. En el caso especial donde X es antisimétrica y el carcaj Q asociado a s es acíclico, nuestros principales resultados consisten en describir los vectores normales de los hiperplanos de soporte de los conos de ∆^+_s(X) usando g-vectores de objetos (no necesariamente rígidos) en Kb(proj kQ). Esto permite proporcionar clases de ejemplos donde los generadores de los rayos de los conos maximales de ∆^+_s(X) pueden expresarse en términos de c-vectores. Simultáneamente, investigamos una descripción de los emparejamientos perfectos de grafos serpiente a través de rutas (ciertas familias de caminos reticulares que no se intersecan) en grafos dirigidos acíclicos conectados. Con esta descripción, definimos el poset de k-rutas y utilizamos la conocida relación entre emparejamientos perfectos y F -polinomios para dar un enfoque alternativo para describir esos F-polinomios para álgebras de conglomerado asociadas a una superficie, tanto de manera recursiva como no recursiva, a través de k-rutas. Además, profundizamos en la identificación de algunos problemas abiertos y proponemos estrategias para abordarlos en futuros proyectos de investigación, asegurando la continuidad y expansión de este trabajo. (Texto tomado de la fuente)