Sobre el problema de restricción de la transformada de Fourier y sus aplicaciones

Abstract

A partir de los años setenta surgió un especial interés en entender las propiedades del operador de restricción de la transformada de Fourier de una función a una variedad, lo que ha promovido nuevas líneas de investigación relevantes en análisis. En esta tesis nos enfocamos en la teoría de restricción multilineal, en particular, extendemos al paraboloide hiperbólico un teorema de Ramos sobre superficies elípticas en R3, quien obtuvo la dependencia óptima de la transversalidad en la desigualdad multilineal de Bennett, Carbery y Tao. Adicionalmente, señalamos una posible ruta hacia la demostración del teorema de Ramos en dimensiones mayores. También mostramos una aplicación de la teoría de restricción a la conjetura de Falconer, un problema en teoría geométrica de la medida. Este problema se relaciona con la decaída del promedio esférico de la transformada de Fourier de medidas con soporte compacto. Construimos una única medida que decae lentamente en todo el espacio, en contraste con resultados anteriores (Texto tomado de la fuente).

Since the seventies, the interest in understanding the mapping properties of restricting the Fourier transform of a function to a manifold, has triggered important new lines of research in analysis. In this thesis we focus on the multilinear theory of restriction, in particular, we extend to the hyperbolic paraboloid a theorem of Ramos about elliptic surfaces in R 3 , who got the sharp dependence on transversality in the multilinear inequality of Bennett, Carbery and Tao. Furthermore, we point to a possible route towards the proof of Ramos’ theorem in higher dimensions. We show also an application of restriction theory to Falconer’s conjecture, a problem in geometric measure theory. This problem relates to the rate of decay of spherical means of the Fourier transform of compactly supported measures. We exhibit measures whose Fourier transform decays slowly in the whole space, in contrast to previous results.