Morphisms between semi-graded rings and polynomial applications

Abstract

In this thesis, we study several kinds of morphisms between families of semi-graded rings with their corresponding polynomial applications. First, we present some ring-theoretical notions of these objects that are necessary throughout the thesis. With the aim of showing the generality of these rings in areas such as ring theory and noncommutative geometry, we include a non-exhaustive list of noncommutative algebras that are particular examples of these rings. Second, we develop a theory of cv-polynomials for iterated Ore extensions over arbitrary rings extending some results in the literature. We characterize these polynomials by using inner derivations of the coefficient ring, and also consider the problem of isomorphisms between these extensions. We illustrate our treatment with several noncommutative algebras. Third, for double Ore extensions introduced by Zhang and Zhang in the problem of classification of Artin-Schelter regular algebras of dimension four, we propose a theory of homomorphisms between them by introducing an adequate notion of cv-polynomial, and show that the computation of homomorphisms corresponding to these polynomials is non-trivial. Since there are no inclusions between the classes of all double Ore extensions of an algebra and of all length two iterated Ore extensions of the same algebra, we also present a comparison between theories of cv-polynomials between both families of algebras. We illustrate our results with Nakayama automorphisms of trimmed double Ore extensions. Finally, motivated by the research on maps between noncommutative projective spaces over $\mathbb{N}$-graded rings in the sense of Rosenberg and Van den Bergh, and the notion of schematicness introduced by Van Oystaeyen and Willaert to $\mathbb{N}$-graded rings with the aim of formulating a noncommutative scheme theory \`a la Grothendieck, we investigate maps in the setting of noncommutative projective spaces over schematic semi-graded rings, and extend different results from the category of schematic $\mathbb{N}$-graded rings to the category of schematic semi-graded rings.

En esta tesis, estudiamos diversas clases de morfismos entre familias de anillos semigraduados con sus correspondientes aplicaciones polinomiales. En primer lugar, presentamos algunas nociones de la teoría de anillos de estos objetos que son necesarios a lo largo de la tesis. Con el propósito de mostrar la generalidad de estos anillos en áreas como la teoría de anillos y la geometría no conmutativa, incluimos una lista no exhaustiva de álgebras no conmutativas que son ejemplos particulares de estos anillos. En segundo lugar, desarrollamos una teoría de cv-polinomios para extensiones de Ore iteradas sobre anillos arbitrarios extendiendo algunos resultados en la literatura. Caracterizamos estos polinomios utilizando derivaciones internas, y también consideramos el problema de isomorfismos entre estas extensiones. Ilustramos nuestro tratamiento con diversas álgebras no conmutativas. Tercero, para las extensiones dobles de Ore introducidas por Zhang y Zhang en el problema de clasificación de álgebras regulares de ArtinSchelter de dimensión cuatro, proponemos una teoría entre estas introduciendo una noción adecuada de cv-polinomio, y mostramos que el cálculo de homomorfismos correspondientes a estos polinomios es no trivial. Teniendo en cuenta que no hay inclusiones entre las clases de extensiones dobles de Ore de un álgebra y extensiones de Ore iteradas de longitud dos sobre la misma álgebra, también presentamos una comparación entre las teorías de cv-polinomios entre ambas familias de álgebras. Ilustramos nuestros resultados con automofismos de Nakayama de extensiones dobles de Ore cortadas. Finalmente, motivados por la investigación sobre morfismos entre espacios proyectivos no connmutativos sobre anillos N-graduados en el sentido de Rosenberg and Van den Bergh, y la noción de esquematicidad introducida por Van Oystaeyen y Willaert para anillos N-graduados con el propósito de formular una teoría de esquemas no conmutativa a la Grothendieck, investigamos morfismos en contexto de espacios proyectivos no conmutativos sobre anillos semi-graduados esquemáticos, y extendemos diversos resultados de la categoría de anillos N-graduados esquemáticos a la categoría de anillos semi-graduados esquemáticos (Texto tomado de la fuente).