Problema de Cauchy asociado a un ecuación del tipo KZKP con dispersión transversal fraccionaria

Abstract

In this work it shall be studied the Cauchy problem for the following ZK-KP type equation u_{t}=u_{xxx}+HD_x^{\alpha}u_{yy}+uu_{x}, u(0)=\psi where 1\leq \alpha\leq 1, H denotes the Hilbert transform in the x variable and D_x is the \alpha^{th} fractional derivative defined via Fourier transform by D_x^{\alpha}f=|\xi|^{\alpha}\widehat{f}. It is showed the local well posedness in the ansisotropic Sobolev spaces H^{s_1,s_2} and examined ill-posedness properties for 1\leq \alpha < 0

En este trabajo se estudia el problema de Cauchy de tipo ZK-KP u_{t}=u_{xxx}+HD_x^{\alpha}u_{yy}+uu_{x}, u(0)=\psi donde 1\leq \alpha\leq 1, H es la transformada de Hilbert en la variable x y D_x^{\alpha} es la \alpha-ésima derivada fraccionaria en x definida vía transformada de Fourier por D_x^{\alpha}f=|\xi|^{\alpha}\widehat{f} Se demuestra el buen planteamiento de este problema en espacios de Sobolev anisotrópicos H^{s_1,s_2} no periódicos y se examinan propiedades de mal planteamiento para 1\leq \alpha < 0