Dynamical systems approach to determine the far-from-equilibrium attractors for the Gubser flow

Abstract

During the last decades it has been proven that relativistic hydrodynamics is a valuable phenomenological tool to describe high energy nuclear collisions. Recently, the research has focused on understanding the concept of hydrodynamical attractors within the different theories. Therefore, in this work the non-equilibrium attractors of systems undergoing Gubser flow within relativistic kinetic theory are studied. In doing so, we employ well-established methods of nonlinear dynamical systems which rely on finding the fixed points, investigating the structure of the flow diagrams of the evolution equations, and characterizing the basin of attraction using a Lyapunov function near the stable fixed points. We obtain the attractors of anisotropic hydrodynamics (aHydro), Israel-Stewart (IS) and transient fluid (DNMR) theories and show that they are indeed non-planar and the basin of attraction is essentially three-dimensional. The attractors of each hydrodynamical model are compared with the one obtained from the exact Gubser solution of the Boltzmann equation within the relaxation time approximation. We observe that the anisotropic hydrodynamics is able to match up to high numerical accuracy the attractor of the exact solution while the second order hydrodynamical theories fail to describe it. Our findings indicate that the reorganization of the expansion series carried out by anisotropic hydrodynamics resums the Knudsen and inverse Reynolds numbers to all orders, thus it can be understood as an effective theory for the far-from-equilibrium fluid dynamics.

Resumen: Durante las últimas décadas se ha demostrado que la hidrodinámica relativista es una herramienta fenomenológica valiosa para describir las colisiones nucleares de alta energía. Recientemente, la investigación se ha centrado en comprender el concepto de atractores hidrodinámicos dentro de las diferentes teorías. Por lo tanto, en este trabajo los atractores de no equilibrio de los sistemas que experimentan el flujo de Gubser dentro de la teoría cinética relativista. Al hacerlo, empleamos métodos bien establecidos de sistemas dinámicos no lineales que se basan en encontrar los puntos fijos, investigar la estructura de los diagramas de flujo de las ecuaciones de evolución y caracterizar la cuenca de atracción utilizando una función de Lyapunov cerca de los puntos fijos estables. Obtenemos los atractores de hidrodinámica anisotrópica (aHydro), Israel-Stewart (IS) y fluido transitorio. (DNMR) teorías y muestran que son de hecho no planares y la cuenca de la atracción es esencialmente tridimensional. Los atractores de cada modelo hidrodinámico se comparan con el obtenido a partir de la solución exacta de Gubser de la ecuación de Boltzmann dentro de la aproximación del tiempo de relajación. Observamos que la hidrodinámica anisotrópica es capaz de igualar con una alta precisión numérica el atractivo de la solución exacta, mientras que las teorías hidrodinámicas de segundo orden no lo describen. Nuestros hallazgos indican que la reorganización de la expansión la serie realizada por la hidrodinámica anisotrópica resume los números de Knudsen e Reynolds inversos en todos los órdenes, por lo que puede entenderse como una teoría efectiva para la dinámica de fluidos lejos del equilibrio.