Some combinatorial topics in representation theory of algebras and its applications

Abstract

This thesis deals with a range of questions in combinatorial aspects of the representation theory of algebras and its applications. In particular, we provide a solution to the following problems:

1. How is it possible to give a geometric model, in the spirit of Caldero-Chapotón-Schiffler, for the categories of socle-projective modules over incidence algebras of some particular kind of posets? 2. How can the finitely generated Zavadskij modules over a finite-dimensional k-algebra be combinatorially characterized? 3. What kind of integer sequences arise from enumerating partitions induced by the t-orbits in the Auslander-Reiten quiver of a Dynkin algebra? 4. What are the algebraic properties of the base matrices in the lattice-based visual secret sharing scheme of Koga-Yamamoto for color and gray-scale images.

Regarding the first question, we give a geometric realization to the category of finitely generated socle-projective modules over the incidence algebra of a poset of type $\mathbb{A}$. In particular, the Auslander-Reiten quiver of such a category can be calculated using a geometric model based on a triangulation of a regular polygon, a special set of diagonals called sp-diagonals, and a kind of moves between sp-diagonals. Furthermore, for each poset of type A, the category of sp-diagonals defines a categorification for certain subalgebra of a cluster algebra, then we study such subalgebras. To tackle the second topic, we use the mast of an indecomposable uniserial module introduced by Zimmermann to give a combinatorial characterization to the finitely generated Zavadskij modules over finite-dimensional k-algebras. Additionally, we give explicit formulas for the number of indecomposable Zavadskij modules over Dynkin algebras. The third question allows us to define the t-orbit partitions of integer numbers, where the parts are defined by the length of the t-orbits in the Auslander-Reiten quiver of a Dynkin algebra; in such a situation, we describe and enumerate those partitions obtaining the integer sequences A016116 and A000034 in The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (in short, OEIS). Finally, in order to answer the last question, we associate certain matrix problems to the scheme of Koga-Yamamoto, which gives an algebraic interpretation to the base matrices as matrix representations of a color-lattice.

Esta tesis trata con un rango de preguntas en aspectos combinatorios de representaciones de álgebras y sus aplicaciones. En particular, damos una solución a los siguientes problemas: !. ¿Cómo dar un modelo geométrico, en el espíritu de Caldero-Chapotón-Schiffler, para las categorías de módulos zócalo proyectivos bajo álgebras de incidencia de alguna clase de conjuntos parcialmente ordenados? 2. ¿Cómo describir combinatorialmente los módulos de Zavadskij finitamente generados bajo cualquier k-álgebra de dimensión finita? 3. ¿Qué tipo de sucesiones enteras resultan de enumerar particiones inducidas por las t-orbitas en el carcaj de Auslander-Reiten de una álgebra Dynkin? 4. ¿Cuáles son las propiedades algebraicas de las matrices base en el esquema de criptografía visual Koga-Yamamoto para imágenes a escala de grises y a color? En relación a la primera pregunta, damos una realización geométrica a la categoría de módulos zócalo-proyectivos finitamente generados bajo el álgebra de incidencia de conjuntos ordenados de tipo A en el espíritu de Caldero-Chapotón-Schiffler. En particular, el carcaj de Auslander-Reiten de dicha categoría puede construirse usando un modelo geométrico basado en: una triangulación de un polígono regular, un conjunto especial de diagonales llamadas sp-diagonales y un tipo de movimientos entre sp-diagonales. Además, para cada conjunto ordenado de tipo A, la categoría de sp-diagonales define una categorificación para cierta subalgebra de una álgebra de conglomerado, entonces nosotros estudiamos dichas subalgebras. En el segundo tema, usamos el mástil de un módulo uniserial indescomponible introducido por Zimmermann para dar una caracterización combinatorial a los módulos Zavadskij finitamente generados bajo una álgebra finito-dimensional. Adicionalmente, damos fórmulas explícitas para el número de módulos Zavadskij indescomponibles bajo álgebras Dynkin. En el tercer punto definimos las particiones de t-orbita de números enteros, donde las partes son definidas por las longitudes de las t-orbitas en el carcaj de Auslander-Reiten de una álgebra Dynkin; en tal situación, describimos y enumeramos esas particiones obteniendo las sucesiones enteras A016116 y A000034 en la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (En corto, OEIS). Finalmente, para responder la última pregunta, asociamos ciertos problemas matriciales al esquema de Koga-Yamamoto, lo cual da una interpretación algebraica a las matrices base como representaciones matriciales de un retículo de colores.