Instituto de Matemáticas Pura y Aplicada

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    On Chern's conjecture about the Euler characteristic of affine manifolds
    (2018) Martínez Madrid, Daniela
    The development the theory of characteristic classes allowed Shiing-Shen Chern to generalize the Gauss Bonnet theorem to Riemannian manifolds of arbitrary dimension. The Chern Gauss Bonnet theorem expresses the Euler characteristic as an integral of a polynomial evaluated on the curvature tensor, i.e if K is the curvature form of the Levi-Civita connection, the Chern Gauss Bonnet formula is . In particular, the theorem implies that if the Levi Civita connection is _at, the Euler characteristic is zero.An a_ne structure on a manifold is an atlas whose transition functions are a_ne transformations. The existence of such a structure is equivalent to the existence of a _at torsion free connection on the tangent bundle. Around 1955 Chern conjectured the following: Conjecture. The Euler characteristic of a closed affine manifold is zero. Not all fat torsion free connections on TM admit a compatible metric, and therefore, Chern-Weil theory cannot be used in general to write down the Euler class in terms of the curvature. In 1955, Benzécri [1] proved that a closed affine surface has zero Euler characteristic. Later, in 1958, Milnor [11] proved inequalities which completely characterise those oriented rank two bundles over a surface that admit a fiat connection. These inequalities prove that in case of a surface the condition "be torsion free" in Chern's conjecture is not necessary. In 1975, Kostant and Sullivan [9] proved Chern's conjecture in the case where the manifold is complete. In 1977, Smillie [15] proved that the condition that the connection is torsion free matters. For each even dimension greater than 2, Smillie constructed closed manifolds with non-zero Euler characteristic that admit a _at connection on their tangent bundle. In 2015, Klingler [14] proved the conjecture for special affine manifolds. That is, affine manifolds that admit a parallel volume form.
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    Diseño e implementación de una unidad de enseñanza potencialmente significativa (UEPS): la enseñanza y el aprendizaje del concepto de fracción en el grado sexto de la Institución Educativa Fe y Alegría Aures
    (2013) Teleche Capote, Carlos Andres
    Resumen: ste trabajo es el resultado de una experiencia en la cual se partió del hecho de que los estudiantes del Grado Sexto de la Institución Educativa Fe y Alegría Aures de Medellín no tenían un significado de Fracción, así que surgió la idea de abordar ésta problemática con el diseño e implementación de una Unidad de Enseñanza Potencialmente Significativa UEPS, utilizando la teoría de aprendizaje significativo en la cual se parte de la siguiente premisa: “Solo hay enseñanza cuando hay aprendizaje y este debe ser significativo; enseñanza es el medio, aprendizaje significativo es el fin, materiales de enseñanza que tengan como objetivo alcanzar ese aprendizaje deben ser potencialmente significativos”. El aprender haciendo como estrategia metodológica y la revisión bibliográfica sobre aprendizaje significativo sirvieron para diseñar e implementar unas actividades con momentos pedagógicos en la que finalmente se evidenció una mejor comprensión del concepto de Fracción