Reducción del sistema de las ecuaciones básicas de la MHD usando potenciales de Euler

Abstract

En el contexto de la teoría de la magnetohidrodinámica MHD, y a partir del sistema de ecuaciones diferenciales parciales no lineales que la describen: Ecuaciones de Navier-Stoker de la dinámica de fluidos, las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo, la ley de Ohm para la corriente y la ecuación que modela la fuerza de Lorentz, hacemos una reducción a un sistema más simple de ecuaciones compactas sujeta a condiciones específicas, que facilitan tanto el análisis de la MHD como su solución. Después de introducir un conjunto de variables auxiliares y aplicar el operador rotacional con sus propiedades, usamos los potenciales de Euler-Monge de los campos de velocidad y magnético e incorporamos al sistema las ecuaciones que modelan las características específicas del fluido como la incompresibilidad, la viscosidad y la resistividad, el efecto Hall y los términos termoeléctricos. Presentamos las ecuaciones reducidas en general y una discusión de sus características en coordenadas curvilíneas generales en tres dimensiones. Después de definir los operadores principales se presenta la reducción para el caso helicoidal y el caso de coordenadas curvilíneas ortogonales, en dos variables. Al final utilizamos los teoremas matemáticos sobre las ecuaciones reducidas para encontrar el sistema definitivo. / Abstract: The theory of magnetohydrodynamics is described by a system of nolinear partial differential equations (pde’s). Some of these pde’s are: Navier-Stokes equations relating dynamics of fluids, Maxwell equations in electromagnetism, the law of Ohm for the current and the equation that models Lorentz force. In this work we make a reduction to a more simple system of compact equations subject to specific conditions. This approach facilitates both the MHD equations analysis and their solution. After introducing a set of auxiliary variables and applying the rotational operator with its properties, we use the potentials of Euler-Monge of the fields of magnetic speed and we incorporate to the system the equations that model the specific characteristics of the fluid such as incompressibility, viscosity and resistively, the Hall effect and the thermoelectrial terms. We present the reduced equations in general form and a discussion of their characteristics in general curvilinear coordinates in three dimensions. After defining the main operators, we show the reduction for the helical case and to the case of orthogonal curvilinear coordinates in two variables. At the end we use some mathematical theorems about the reduced equations to find the definitive system.