Distribución Beta 2 Escalada como distribución a priori para los parámetros de escala

Abstract

Regularmente los modelos jerárquicos Bayesianos utilizan la Gamma-inversa(e,e) para modelar los parámetros de escala. Estas distribuciones han recibido algunas críticas porque valores pequeños de e hacen que la distribución posterior para los parámetros de escala tenga valores muy pequeños y un gran encogimiento hacia la media en la estimación de los efectos del modelo. Se ha propuesto como alternativa la distribución half-Cauchy, que por sus características mitiga las dificultades que se presentan con la Gamma-inversa. En este trabajo se propone una solución sistemática a estos problemas utilizando la familia de distribuciones beta 2 escala (SBeta2), de la cual la half-Cauchy es un caso particular, con el fin de ajustar de una manera robusta las precisiones y varianzas en modelos Bayesianos. Se estudian las propiedades de la SBeta2, en particular, su comportamiento en el origen y en la cola, pues este comportamiento es el que la hace flexible para el modelamiento. Las virtudes de modelar con la SBeta2 se reafirman con un estudio de simulación de un modelo jerárquico normal y en algunas aplicaciones clásicas tales como el problema de Clemente, en las cuales se aprecia que la SBeta2 presenta un menor error de predicción y un menor encogimiento hacia la media de los casos excepcionales, cuando se compara con la Gamma-inversa. Finalmente, se muestra una aplicación del modelo de edad-periodo-cohorte (APC) con verosimilitudes Poisson y Binomial Negativa, utilizando la SBeta2 como distribución a priori para los parámetros de varianza de los efectos.

Abstract: Bayesian hierarchical models regularly use the Inverse-gamma(e, e) distribution to model the scale parameters. These distributions have received some criticism because small values of e produce very small values in the posterior distribution for the scale parameters and large shrinkage to the mean estimate of the effects of the model. Half-Cauchy distributions, which their nature mitigate the difficulties encountered with Inverse-gamma distributions, have been proposed as an alternative. This paper presents a systematic solution to these problems: it is proposed the family distribution Scaled Beta 2 (SBeta2), of which the half-Cauchy is a particular case, in order to adjust in a robust manner precisions and variances in Bayesian models. SBeta2 properties are studied, in particular at the origin and tail behaviors since it is these behaviors what makes SBeta2 flexible for modeling. The virtues of modeling with SBeta2 are confirmed with a simulation study of a normal hierarchical model and some classic applications such as the Clemente problem, where we see that SBeta2 has a lower prediction error and lower shrinkage to the mean of the exceptional cases when compared with the Inverse-gamma. An application of age-period-cohort (APC) model with likelihoods Poisson and Negative Binomial is shown, using SBeta2 as a prior for effect variance parameters.