Ring and module theoretic properties of σ − P BW extensions

Abstract

En la presente tesis estudiamos las propiedades de anillos y módulos de los anillos de polinomios no conmutativos denominados extensiones σ − P BW. Dado que estas extensiones son definidas por un anillo y un conjunto de variables con relaciones entre ellas, establecemos un criterio y algunos algoritmos para determinar cuándo un anillo junto con algunas variables puede ser expresado como una extensión σ − P BW. En otras palabras, respondemos la pregunta acerca de si un anillo tiene una base P BW en el sentido de las extensiones σ − P BW. Sumado a esto, estudiamos las propiedades de noetherianidad y regularidad, entendida esta última como dimensión homológica global finita, junto con el teorema de Serre para estas extensiones. Además, calculamos cotas superiores e inferiores para las dimensiones homológica global y de Krull, mientras que para las dimensiones de Gelfand-Kirillov y Goldie damos un valor exacto. También estudiamos la regularidad de Auslander para estas extensiones. Todos estos resultados son ilustrados con álgebras no consideradas en otros trabajos. Luego estudiamos los ideales primos de estas extensiones generalizando algunos resultados en la literatura. Al respecto, establecemos resultados sobre incomparabilidad y longitud de ideales primos. A continuación estudiamos las propiedad de catenariedad y la fórmula de Tauvel. Mostramos que varias álgebras cuánticas tienen estas propiedades. En particular, probamos la catenariedad de anillos coordenados de espacios afines cuánticos, álgebras de Weyl cuantizadas y anillos de coordenadas de grupos lineales complejos generales cuánticos. Finalmente, estudiamos la K-teoría algebraica superior para estas extensiones y calculamos los Kn-grupos de Quillen para n ≥ 0. En particular, obtenemos los grupos de Grothendieck, Bass y Milnor. Estos resultados, así como los anteriores, son ilustrados con una cantidad considerable de ejemplos destacados de extensiones σ − P BW y algunas de sus localizaciones. Estos ejemplos incluyen anillos y álgebras de la física matemática tales como extensiones P BW clásicas, anillos de grupos policíclicos finitos, álgebras de Ore, álgebras de operadores, álgebras de difusión, álgebras cuánticas, álgebras cuadráticas en tres variables, álgebras de Clifford y otras más.

Abstract: In this thesis we study the ring and module theoretic properties of the noncommutative polynomial rings known as σ − P BW extensions. Since these extensions are defined by a ring and a set of variables with relations between them, we establish a criterion and some algorithms which decide whether a given ring with some variables and relations can be expressed as an extension of this type, that is, to provide an answer to the question "Does this ring have a P BW basis in the sense of σ − P BW extensions?" We also study Noetherianity, regularity in the sense of global homological dimension finite and Serre's theorem for these extensions. We look at methods for estimating (lower and upper bounds) the global homological dimension and the Krull dimension of these noncommutative rings. For Gelfand-Kirillov dimension we give an exact value. We also study Auslander's regularity for these extensions. We consider Goldie dimension and we give an exact value for σ − P BW extensions which are domains. In the general case we compute this dimension under certain conditions on the ring of coefficients. We present new computations for some algebras not considered before. We study the prime ideals of these extensions generalizing results in the literature. We also establish some results about incomparability and prime length of prime ideals. We study catenarity and Tauvel's height formula. Thus we show that several quantum algebras have these properties. In particular, we obtain catenarity for coordinate rings of quantum affine spaces, quantized Weyl algebras, and for coordinate rings of complex quantum general linear groups. Finally, we consider the higher algebraic K-theory for σ −P BW extensions and we compute the Quillen's Kn-groups for n ≥ 0. In particular Grothendieck, Bass and Milnor's groups for these extensions are obtained. All the results in this thesis are illustrated with a lot of remarkable examples of σ − P BW extensions together with some of their localizations. These examples include rings and algebras of mathematical physics such that classic P BW extensions, group rings of polycyclic-by finite groups, Ore algebras, operator algebras, diffusion algebras, quantum algebras, cuadratic algebras in three variables, Clioffrd algebras and so others.