Carta t con límites de control estimado

Abstract

Usualmente las cartas de control se construyen con estimaciones de los parámetros asociados a la distribución de la variable o estadístico que se monitorea; sin embargo, se asume que estos son conocidos y en consecuencia, se desconsideran los efectos que las estimaciones tienen sobre el desempeño de la carta. En este trabajo se estudian los efectos de la estimación del parámetro de la carta \textit{t}, la cual es usada para monitorear el tiempo entre eventos, asumiendo que esta variable sigue una distribución $\exp(\lambda_0)$. Para ello, se hizo un análisis inicial de la longitud promedio de corrida o ARL para la carta cuando $\lambda_0$ es conocido y posteriormente cuando se usa un valor estimado para este parámetro. El análisis preliminar permitió ver que la carta en cualquiera de los dos casos no es de ARL insesgado; es decir, su ARL no es máxima cuando el proceso está en control. Además, se pudo mostrar que cuando $\lambda_0$ es estimado, esta estimación afecta significativamente la tasa de falsa alarma, la ARL y la SDRL (desviación estándar de la longitud de corrida), cuando el tamaño de la muestra usada para esta estimación es pequeña. En consecuencia, se estudian y proponen correcciones de los límites de control, con el fin de obtener una carta de ARL insesgado. Se consideró la construcción de límites con probabilidades de colas con valores nominales iguales y diferentes y se trabajó con dos criterios de optimización en cada caso, en el primero se hallaron correcciones tales que la carta sea de ARL insesgado y además la ARL en control satisfaciendo un valor deseado; en el segundo criterio, además de buscar correcciones para lograr una carta de ARL insesgado, se procuró además, alcanzar una tasa de falsa alarma deseada. Los resultados sugieren que cuando se estima el parámetro y se corrigen los límites, es mejor fijar la ARL en lugar de la tasa de falsa alarma, sin embargo, es indiferente definir los límites con colas nominales de igual o distinta probabilidad, de la misma forma, resulta indiferente la elección de uno u otro estimador entre los dos que fueron considerados en esta tesis

Abstract: The control charts are usually constructed with estimates of the parameters associated with the distribution of the variable or statistic being monitored; however, it is assumed that these are known, and therefore the effects that estimates have on the performance of the chart are disregarded. This paper studies the effects of the estimation of the parameter of the chart t which is used to monitor the time between events, assuming that this variable follows a distribution $\exp(\lambda_0)$. For this, an initial analysis of the average run length or ARL for the chart was made when $\lambda_0$ is known and later when an estimated value is used for this parameter. The preliminary analysis showed that the chart in either case is not of ARL unbiased; it means that, its ARL is not maximized when the process is in control. In addition, it was shown that when $\lambda_0$ is estimated, this estimation affects significantly the false alarm rate,ARL and SDRL (standard deviation of run length), when the sample size used for this estimation is small. Consequently, corrections to the limits of control are studied and proposed, in order to obtain a chart of ARL unbiased. The construction of limits were considered with probabilities of tails with equal and different nominal values, two optimization criteria were taken into consideration in each case, in the first criterion, corrections were found such that the chart be of ARL unbiased and also the ARL in control satisfying a desired value; in the second criterion, not only looked for corrections to achieve an unbiased ARL but also sought to achieve a desired false alarm rate. The results suggest that when estimating the parameter and correcting the limits, it is better to set the ARL instead of the false alarm rate, however, it is irrelevant to define the limits with probabilities of tails with equal nominal values or different, in the same way, the choice of one or another estimator among the two that were considered in this thesis is indifferent.